Confidence Levels in Risk Management

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3D%3D1.15.3%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Confidence%20Levels%20in%20Risk%20Management%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Confidence%20Levels%20in%20Risk%20Management%0A%0A%20%20%20%20Interactive%20exploration%20of%20Value%20at%20Risk%20(VaR)%20%E2%80%94%20the%20workhorse%20risk%0A%20%20%20%20measure%20used%20by%20CCPs%2C%20banks%2C%20and%20regulators.%20This%20notebook%20lets%20you%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Compute%20VaR**%20using%20all%20three%20methods%20(parametric%2C%20historical%0A%20%20%20%20%20%20%20simulation%2C%20Monte%20Carlo)%20on%20the%20same%20data%0A%20%20%20%202.%20**Toggle%20fat%20tails**%20%E2%80%94%20slide%20the%20degrees%20of%20freedom%20and%20watch%0A%20%20%20%20%20%20%20parametric%20VaR%20diverge%20from%20historical%2FMonte%20Carlo%0A%20%20%20%203.%20**Break%20the%20%E2%88%9AT%20rule**%20%E2%80%94%20add%20autocorrelation%20and%20see%20multi-day%20VaR%0A%20%20%20%20%20%20%20diverge%20from%20the%20scaled-up%201-day%20estimate%0A%0A%20%20%20%20See%20the%20companion%20note%3A%0A%20%20%20%20%5BConfidence%20Levels%20in%20Risk%20Management%5D(..%2F..%2F2%2520-%2520Areas%2FFinance%2Fconfidence-levels-in-risk.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%0A%20%20%20%20def%20centered_fig(fig)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20html%20%3D%20mo.as_html(fig).text%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bjustify-content%3Acenter%3Bmargin-top%3A1.5rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bhtml%7D%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%201%3A%20Three%20VaR%20Methods%20on%20the%20Same%20Data%0A%0A%20%20%20%20We%20generate%20a%20synthetic%20return%20series%20and%20compute%20VaR%20using%20all%20three%0A%20%20%20%20approaches.%20The%20**degrees%20of%20freedom**%20slider%20controls%20how%20fat-tailed%0A%20%20%20%20the%20data%20is%20%E2%80%94%20lower%20%CE%BD%20means%20fatter%20tails%20and%20more%20extreme%20events.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Parametric%20VaR**%20assumes%20returns%20are%20normally%20distributed%20and%20uses%0A%20%20%20%20%20%20%24z_c%20%5Ccdot%20%5Csigma%24.%20It%20ignores%20fat%20tails.%0A%20%20%20%20-%20**Historical%20simulation**%20takes%20the%20empirical%20quantile%20of%20the%20actual%0A%20%20%20%20%20%20returns.%20It%20captures%20whatever%20tail%20shape%20the%20data%20has.%0A%20%20%20%20-%20**Monte%20Carlo**%20re-simulates%20many%20paths%20from%20a%20fitted%20distribution%0A%20%20%20%20%20%20and%20takes%20the%20quantile.%20Here%20we%20fit%20a%20Student-t%2C%20so%20it%20should%20track%0A%20%20%20%20%20%20the%20empirical%20tails.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nu_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Degrees%20of%20freedom%20(%CE%BD)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20conf_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.999%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.99%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.005%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Confidence%20level%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20n_days_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D5000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20simulated%20days%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bnu_slider%2C%20conf_slider%2C%20n_days_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20conf_slider%2C%20n_days_slider%2C%20nu_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20conf_slider%2C%20mo%2C%20n_days_slider%2C%20np%2C%20nu_slider%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20stats%20as%20_stats%0A%0A%20%20%20%20_nu%20%3D%20nu_slider.value%0A%20%20%20%20_conf%20%3D%20conf_slider.value%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20n_days_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20returns%20from%20a%20scaled%20Student-t%20distribution%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20%23%20Scale%20so%20variance%20%3D%20sigma%5E2%20regardless%20of%20nu%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%200.02%20%20%23%202%25%20daily%20vol%0A%20%20%20%20_scale%20%3D%20_sigma%20*%20np.sqrt((_nu%20-%202)%20%2F%20_nu)%20if%20_nu%20%3E%202%20else%20_sigma%0A%20%20%20%20_returns%20%3D%20_rng.standard_t(df%3D_nu%2C%20size%3D_n)%20*%20_scale%0A%0A%20%20%20%20%23%20Method%201%3A%20Parametric%20VaR%20(assumes%20normality)%0A%20%20%20%20_sigma_hat%20%3D%20np.std(_returns)%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20_stats.norm.ppf(_conf)%0A%20%20%20%20_var_parametric%20%3D%20_z%20*%20_sigma_hat%0A%0A%20%20%20%20%23%20Method%202%3A%20Historical%20simulation%20(empirical%20quantile)%0A%20%20%20%20_var_historical%20%3D%20np.percentile(_returns%2C%20_conf%20*%20100)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Method%203%3A%20Monte%20Carlo%20(fit%20t-distribution%2C%20resimulate)%0A%20%20%20%20_mc_samples%20%3D%20_rng.standard_t(df%3D_nu%2C%20size%3D50_000)%20*%20_scale%0A%20%20%20%20_var_monte_carlo%20%3D%20np.percentile(_mc_samples%2C%20_conf%20*%20100)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20comparison%20table%0A%20%20%20%20_results%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%22%3A%20%5B%22Parametric%20(Normal)%22%2C%20%22Historical%20Simulation%22%2C%20%22Monte%20Carlo%20(Student-t)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22VaR%22%3A%20%5B_var_parametric%2C%20_var_historical%2C%20_var_monte_carlo%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ratio%20to%20Parametric%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_var_historical%20%2F%20_var_parametric%20if%20_var_parametric%20!%3D%200%20else%20float(%22nan%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_var_monte_carlo%20%2F%20_var_parametric%20if%20_var_parametric%20!%3D%200%20else%20float(%22nan%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_results%5B%22VaR%20(%25)%22%5D%20%3D%20(_results%5B%22VaR%22%5D%20*%20100).round(3)%0A%20%20%20%20_results%5B%22Ratio%20to%20Parametric%22%5D%20%3D%20_results%5B%22Ratio%20to%20Parametric%22%5D.round(3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Histogram%20of%20returns%20with%20VaR%20lines%0A%20%20%20%20_hist_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Daily%20Return%22%3A%20_returns%7D)%0A%20%20%20%20_hist%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_hist_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_bar(opacity%3D0.6%2C%20color%3D%22%235C6BC0%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.X(%22Daily%20Return%3AQ%22%2C%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D80)%2C%20title%3D%22Daily%20Return%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Y(%22count()%3AQ%22%2C%20title%3D%22Count%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D600%2C%20height%3D300%2C%20title%3Df%22Return%20Distribution%20(%CE%BD%3D%7B_nu%7D)%20with%20VaR%20Lines%22)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_var_lines_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22VaR%22%3A%20%5B_var_parametric%2C%20_var_historical%2C%20_var_monte_carlo%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%22%3A%20%5B%22Parametric%22%2C%20%22Historical%22%2C%20%22Monte%20Carlo%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_var_rules%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_var_lines_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_rule(strokeDash%3D%5B5%2C%203%5D%2C%20strokeWidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22VaR%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Parametric%22%2C%20%22Historical%22%2C%20%22Monte%20Carlo%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%2C%20%22%2366BB6A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20_hist%20%2B%20_var_rules%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**At%20%CE%BD%20%3D%20%7B_nu%7D%2C%20confidence%20%3D%20%7B_conf%3A.1%25%7D%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Method%20%7C%20VaR%20(daily%20%25)%20%7C%20Ratio%20to%20Parametric%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C--------------%7C---------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Parametric%20(Normal)%20%7C%20%7B_var_parametric%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%201.000%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Historical%20Simulation%20%7C%20%7B_var_historical%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%20%7B_var_historical%20%2F%20_var_parametric%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Monte%20Carlo%20(Student-t)%20%7C%20%7B_var_monte_carlo%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%20%7B_var_monte_carlo%20%2F%20_var_parametric%3A.3f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20When%20%CE%BD%20is%20low%20(fat%20tails)%2C%20historical%20and%20Monte%20Carlo%20VaR%20exceed%20parametric%0A%20%20%20%20VaR%20%E2%80%94%20the%20normal%20distribution%20underestimates%20tail%20risk.%20As%20%CE%BD%20%E2%86%92%20%E2%88%9E%2C%20the%0A%20%20%20%20Student-t%20converges%20to%20the%20normal%20and%20all%20three%20methods%20agree.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%202%3A%20Fat%20Tails%20%E2%80%94%20Why%20the%20Gaussian%20Lies%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20below%20overlays%20the%20normal%20PDF%20and%20the%20Student-t%20PDF%20at%20the%0A%20%20%20%20current%20%CE%BD.%20Watch%20the%20tails%3A%20even%20moderate%20departures%20from%20normality%0A%20%20%20%20(%CE%BD%20%3D%208%E2%80%9310)%20produce%20meaningfully%20fatter%20tails%20at%20the%2099th%20percentile%0A%20%20%20%20and%20beyond.%0A%0A%20%20%20%20The%20shaded%20area%20shows%20the%20probability%20mass%20beyond%20the%20normal%2099%25%20VaR%0A%20%20%20%20threshold%20%E2%80%94%20this%20is%20the%20risk%20the%20Gaussian%20model%20misses%20entirely.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20np%2C%20nu_slider%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_nu2%20%3D%20nu_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20PDF%20comparison%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-5%2C%205%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normal%20PDF%0A%20%20%20%20_normal_pdf%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20_x**2)%20%2F%20np.sqrt(2%20*%20np.pi)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Student-t%20PDF%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20special%20as%20_special%0A%0A%20%20%20%20_t_coeff%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_special.gamma((_nu2%20%2B%201)%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(np.sqrt(_nu2%20*%20np.pi)%20*%20_special.gamma(_nu2%20%2F%202))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_t_pdf%20%3D%20_t_coeff%20*%20(1%20%2B%20_x**2%20%2F%20_nu2)%20**%20(-(_nu2%20%2B%201)%20%2F%202)%0A%0A%20%20%20%20_pdf_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20np.concatenate(%5B_x%2C%20_x%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Density%22%3A%20np.concatenate(%5B_normal_pdf%2C%20_t_pdf%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Distribution%22%3A%20%5B%22Normal%22%5D%20*%20len(_x)%20%2B%20%5Bf%22Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu2%7D)%22%5D%20*%20len(_x)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_pdf_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_pdf_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(strokeWidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20title%3D%22Standard%20Deviations%20from%20Mean%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Density%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Distribution%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Normal%22%2C%20f%22Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu2%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Distribution%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Normal%22%2C%20f%22Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu2%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B0%5D%2C%20%5B5%2C%203%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Normal%20vs%20Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu2%7D)%3A%20Tail%20Comparison%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20VaR%20reference%20lines%0A%20%20%20%20_z99%20%3D%202.326%0A%20%20%20%20_z997%20%3D%202.748%0A%20%20%20%20_ref_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_z99%2C%20_z997%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Label%22%3A%20%5B%2299%25%20VaR%20(z%3D2.326)%22%2C%20%2299.7%25%20VaR%20(z%3D2.748)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ref_rules%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_ref_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_rule(strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D%2C%20strokeWidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Label%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%2299%25%20VaR%20(z%3D2.326)%22%2C%20%2299.7%25%20VaR%20(z%3D2.748)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%237E57C2%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_combined%20%3D%20_pdf_chart%20%2B%20_ref_rules%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20tail%20probabilities%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20stats%20as%20_stats%0A%0A%20%20%20%20_t_dist%20%3D%20_stats.t(df%3D_nu2)%0A%20%20%20%20_normal_dist%20%3D%20_stats.norm()%0A%0A%20%20%20%20_tail_99_normal%20%3D%201%20-%20_normal_dist.cdf(_z99)%0A%20%20%20%20_tail_99_t%20%3D%201%20-%20_t_dist.cdf(_z99)%0A%20%20%20%20_tail_997_normal%20%3D%201%20-%20_normal_dist.cdf(_z997)%0A%20%20%20%20_tail_997_t%20%3D%201%20-%20_t_dist.cdf(_z997)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_combined)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Tail%20probability%20beyond%20each%20threshold%20(%CE%BD%20%3D%20%7B_nu2%7D)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Threshold%20%7C%20Normal%20%7C%20Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu2%7D)%20%7C%20Ratio%20(t%20%2F%20Normal)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C--------%7C-------------%7C-------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%2099%25%20VaR%20(z%3D2.326)%20%7C%20%7B_tail_99_normal%3A.4%25%7D%20%7C%20%7B_tail_99_t%3A.4%25%7D%20%7C%20%7B_tail_99_t%20%2F%20_tail_99_normal%3A.1f%7D%C3%97%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%2099.7%25%20VaR%20(z%3D2.748)%20%7C%20%7B_tail_997_normal%3A.4%25%7D%20%7C%20%7B_tail_997_t%3A.4%25%7D%20%7C%20%7B_tail_997_t%20%2F%20_tail_997_normal%3A.1f%7D%C3%97%20%7C%0A%0A%20%20%20%20At%20%CE%BD%20%3D%20%7B_nu2%7D%2C%20the%20Student-t%20has%20**%7B_tail_99_t%20%2F%20_tail_99_normal%3A.1f%7D%C3%97**%20the%0A%20%20%20%20tail%20probability%20of%20the%20normal%20at%2099%25%20VaR.%20At%2099.7%25%2C%20the%20ratio%20grows%20to%0A%20%20%20%20**%7B_tail_997_t%20%2F%20_tail_997_normal%3A.1f%7D%C3%97**.%20The%20deeper%20into%20the%20tail%2C%20the%20more%0A%20%20%20%20the%20Gaussian%20underestimates.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%203%3A%20The%20%E2%88%9AT%20Scaling%20Rule%20and%20Its%20Breakdown%0A%0A%20%20%20%20The%20%E2%88%9AT%20rule%20says%3A%20if%201-day%20VaR%20is%20%24V%24%2C%20then%20%24T%24-day%20VaR%20is%20%24V%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7BT%7D%24.%0A%20%20%20%20This%20assumes%20returns%20are%20independent%20(no%20autocorrelation).%0A%0A%20%20%20%20Toggle%20autocorrelation%20below%20to%20see%20what%20happens%20when%20returns%20exhibit%0A%20%20%20%20momentum%20(positive%20autocorrelation)%20or%20mean-reversion%20(negative%0A%20%20%20%20autocorrelation).%20With%20positive%20autocorrelation%2C%20risk%20grows%20**faster**%0A%20%20%20%20than%20%E2%88%9AT%3B%20with%20negative%2C%20**slower**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20autocorr_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Return%20autocorrelation%20(%CF%81)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20max_horizon_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Max%20horizon%20(days)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bautocorr_slider%2C%20max_horizon_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20autocorr_slider%2C%20max_horizon_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20autocorr_slider%2C%20centered_fig%2C%20max_horizon_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_rho%20%3D%20autocorr_slider.value%0A%20%20%20%20_max_T%20%3D%20max_horizon_slider.value%0A%20%20%20%20_sigma_daily%20%3D%200.02%0A%20%20%20%20_conf_level%20%3D%200.99%0A%20%20%20%20_z%20%3D%202.326%20%20%23%20z_%7B0.99%7D%0A%20%20%20%20_n_sims%20%3D%2020_000%0A%20%20%20%20_rng3%20%3D%20np.random.default_rng(123)%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20each%20horizon%20T%2C%20compute%3A%0A%20%20%20%20%23%201.%20%E2%88%9AT%20prediction%3A%20VaR_1day%20*%20%E2%88%9AT%0A%20%20%20%20%23%202.%20Actual%20multi-day%20VaR%20from%20simulation%20with%20autocorrelation%0A%20%20%20%20_horizons%20%3D%20list(range(1%2C%20_max_T%20%2B%201))%0A%20%20%20%20_var_1day%20%3D%20_z%20*%20_sigma_daily%0A%20%20%20%20_sqrt_t_predicted%20%3D%20%5B_var_1day%20*%20np.sqrt(T)%20for%20T%20in%20_horizons%5D%0A%0A%20%20%20%20_actual_var%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_T%20in%20_horizons%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Simulate%20_n_sims%20paths%20of%20length%20_T%20with%20AR(1)%20autocorrelation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cumulative_returns%20%3D%20np.zeros(_n_sims)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_prev_r%20%3D%20np.zeros(_n_sims)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_t%20in%20range(_T)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_innovation%20%3D%20_rng3.normal(0%2C%20_sigma_daily%2C%20_n_sims)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_r%20%3D%20_rho%20*%20_prev_r%20%2B%20np.sqrt(1%20-%20_rho**2)%20*%20_innovation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_cumulative_returns%20%2B%3D%20_r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_prev_r%20%3D%20_r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_actual_var.append(np.percentile(_cumulative_returns%2C%20_conf_level%20*%20100))%0A%0A%20%20%20%20_scaling_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Horizon%20(days)%22%3A%20_horizons%20*%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22VaR%20(%25)%22%3A%20%5Bv%20*%20100%20for%20v%20in%20_sqrt_t_predicted%5D%20%2B%20%5Bv%20*%20100%20for%20v%20in%20_actual_var%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%22%3A%20%5B%22%E2%88%9AT%20Prediction%22%5D%20*%20len(_horizons)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5Bf%22Simulated%20(%CF%81%3D%7B_rho%3A.2f%7D)%22%5D%20*%20len(_horizons)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_scaling_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_scaling_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DTrue%2C%20strokeWidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Horizon%20(days)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B1%2C%20_max_T%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22VaR%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22VaR%20(%25%20of%20portfolio)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22%E2%88%9AT%20Prediction%22%2C%20f%22Simulated%20(%CF%81%3D%7B_rho%3A.2f%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Method%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22%E2%88%9AT%20Prediction%22%2C%20f%22Simulated%20(%CF%81%3D%7B_rho%3A.2f%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B0%5D%2C%20%5B5%2C%203%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22%E2%88%9AT%20Scaling%20vs%20Actual%20Multi-Day%20VaR%20(autocorrelation%20%CF%81%20%3D%20%7B_rho%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20divergence%20at%20max%20horizon%0A%20%20%20%20_divergence%20%3D%20(_actual_var%5B-1%5D%20%2F%20_sqrt_t_predicted%5B-1%5D%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_direction%20%3D%20%22higher%22%20if%20_divergence%20%3E%200%20else%20%22lower%22%0A%20%20%20%20_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22With%20positive%20autocorrelation%20(momentum)%2C%20bad%20days%20tend%20to%20follow%20bad%20days%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22so%20multi-day%20losses%20compound%20faster%20than%20%E2%88%9AT%20predicts.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_rho%20%3E%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22With%20negative%20autocorrelation%20(mean-reversion)%2C%20losses%20tend%20to%20reverse%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22so%20multi-day%20risk%20is%20lower%20than%20%E2%88%9AT%20predicts.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_rho%20%3C%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22With%20zero%20autocorrelation%2C%20the%20%E2%88%9AT%20rule%20holds%20exactly%20(within%20simulation%20noise).%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_scaling_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**At%20%7B_max_T%7D-day%20horizon%20with%20%CF%81%20%3D%20%7B_rho%3A.2f%7D%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20%E2%88%9AT%20prediction%3A%20**%7B_sqrt_t_predicted%5B-1%5D%20*%20100%3A.3f%7D%25**%0A%20%20%20%20-%20Simulated%20VaR%3A%20**%7B_actual_var%5B-1%5D%20*%20100%3A.3f%7D%25**%0A%20%20%20%20-%20Divergence%3A%20**%7Babs(_divergence)%3A.1f%7D%25%20%7B_direction%7D**%20than%20%E2%88%9AT%0A%0A%20%20%20%20%7B_explanation%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%204%3A%20VaR%20vs%20Expected%20Shortfall%20(ES)%0A%0A%20%20%20%20VaR%20tells%20you%20the%20threshold%3A%20%2299%25%20of%20days%2C%20losses%20won't%20exceed%20this.%22%0A%20%20%20%20But%20it%20says%20nothing%20about%20what%20happens%20on%20the%20worst%201%25%20of%20days.%0A%0A%20%20%20%20Expected%20Shortfall%20(ES)%2C%20also%20called%20CVaR%20(Conditional%20VaR)%2C%20answers%3A%0A%20%20%20%20%22Given%20that%20we're%20in%20the%20worst%201%25%2C%20what's%20the%20**average**%20loss%3F%22%0A%0A%20%20%20%20ES%20is%20always%20%E2%89%A5%20VaR.%20The%20gap%20between%20them%20measures%20how%20bad%20the%20tail%0A%20%20%20%20really%20is.%20For%20normal%20distributions%20the%20gap%20is%20modest%3B%20for%20fat-tailed%0A%20%20%20%20distributions%20it%20can%20be%20enormous.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20conf_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20nu_slider%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_nu4%20%3D%20nu_slider.value%0A%20%20%20%20_conf4%20%3D%20conf_slider.value%0A%20%20%20%20_sigma4%20%3D%200.02%0A%20%20%20%20_rng4%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20returns%20from%20both%20distributions%0A%20%20%20%20_n4%20%3D%2050_000%0A%20%20%20%20_normal_returns%20%3D%20_rng4.normal(0%2C%20_sigma4%2C%20_n4)%0A%20%20%20%20_scale4%20%3D%20_sigma4%20*%20np.sqrt((_nu4%20-%202)%20%2F%20_nu4)%20if%20_nu4%20%3E%202%20else%20_sigma4%0A%20%20%20%20_t_returns%20%3D%20_rng4.standard_t(df%3D_nu4%2C%20size%3D_n4)%20*%20_scale4%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20VaR%20and%20ES%20for%20both%0A%20%20%20%20_var_normal%20%3D%20np.percentile(_normal_returns%2C%20_conf4%20*%20100)%0A%20%20%20%20_var_t%20%3D%20np.percentile(_t_returns%2C%20_conf4%20*%20100)%0A%0A%20%20%20%20_es_normal%20%3D%20np.mean(_normal_returns%5B_normal_returns%20%3E%3D%20_var_normal%5D)%0A%20%20%20%20_es_t%20%3D%20np.mean(_t_returns%5B_t_returns%20%3E%3D%20_var_t%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Bar%20chart%20comparing%20VaR%20and%20ES%0A%20%20%20%20_comparison_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Measure%22%3A%20%5B%22VaR%22%2C%20%22ES%22%2C%20%22VaR%22%2C%20%22ES%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Distribution%22%3A%20%5B%22Normal%22%2C%20%22Normal%22%2C%20f%22Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu4%7D)%22%2C%20f%22Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu4%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%20(%25)%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_var_normal%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_es_normal%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_var_t%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_es_t%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_bar_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_comparison_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_bar(opacity%3D0.85)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Distribution%3AN%22%2C%20title%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Loss%20(%25%20of%20portfolio)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Measure%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22VaR%22%2C%20%22ES%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xOffset%3D%22Measure%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22VaR%20vs%20Expected%20Shortfall%20at%20%7B_conf4%3A.1%25%7D%20Confidence%20(%CE%BD%3D%7B_nu4%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_es_var_ratio_normal%20%3D%20_es_normal%20%2F%20_var_normal%20if%20_var_normal%20!%3D%200%20else%20float(%22nan%22)%0A%20%20%20%20_es_var_ratio_t%20%3D%20_es_t%20%2F%20_var_t%20if%20_var_t%20!%3D%200%20else%20float(%22nan%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_bar_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**VaR%20vs%20ES%20at%20%7B_conf4%3A.1%25%7D%20confidence%20(%CE%BD%20%3D%20%7B_nu4%7D)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20Normal%20%7C%20Student-t%20(%CE%BD%3D%7B_nu4%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C--------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**VaR**%20%7C%20%7B_var_normal%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%20%7B_var_t%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Expected%20Shortfall**%20%7C%20%7B_es_normal%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%20%7B_es_t%20*%20100%3A.3f%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**ES%20%2F%20VaR%20ratio**%20%7C%20%7B_es_var_ratio_normal%3A.2f%7D%C3%97%20%7C%20%7B_es_var_ratio_t%3A.2f%7D%C3%97%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20ES%2FVaR%20ratio%20measures%20tail%20severity.%20For%20the%20normal%20distribution%2C%0A%20%20%20%20this%20ratio%20is%20stable%20(~1.15%C3%97%20at%2099%25).%20For%20fat-tailed%20distributions%2C%0A%20%20%20%20ES%20grows%20much%20faster%20than%20VaR%20%E2%80%94%20the%20worst%20outcomes%20are%20disproportionately%0A%20%20%20%20worse.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%205%3A%20CCP%20Margin%20%E2%80%94%20Confidence%20%C3%97%20Horizon%0A%0A%20%20%20%20A%20CCP's%20margin%20requirement%20combines%20a%20confidence%20level%20with%20a%0A%20%20%20%20liquidation%20horizon.%20This%20section%20shows%20how%20margin%20scales%20with%20both%0A%20%20%20%20parameters.%0A%0A%20%20%20%20The%20parametric%20formula%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BMargin%7D%20%3D%20z_c%20%5Ccdot%20%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bdaily%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7BT%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24z_c%24%20is%20the%20quantile%20for%20confidence%20level%20%24c%24%20and%20%24T%24%20is%20the%0A%20%20%20%20liquidation%20horizon%20in%20days.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20stats%20as%20_stats5%0A%0A%20%20%20%20_sigma5%20%3D%200.02%20%20%23%202%25%20daily%20vol%0A%20%20%20%20_confidences%20%3D%20%5B0.95%2C%200.99%2C%200.997%2C%200.999%5D%0A%20%20%20%20_horizons5%20%3D%20list(range(1%2C%2011))%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_c%20in%20_confidences%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z5%20%3D%20_stats5.norm.ppf(_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_T5%20in%20_horizons5%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_margin%20%3D%20_z5%20*%20_sigma5%20*%20np.sqrt(_T5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Confidence%22%3A%20f%22%7B_c%3A.1%25%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Horizon%20(days)%22%3A%20_T5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Margin%20(%25)%22%3A%20_margin%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_margin_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%0A%20%20%20%20_margin_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_margin_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DTrue%2C%20strokeWidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Horizon%20(days)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B1%2C%2010%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Margin%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Required%20Margin%20(%25%20of%20portfolio)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Confidence%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%2295.0%25%22%2C%20%2299.0%25%22%2C%20%2299.7%25%22%2C%20%2299.9%25%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%2381C784%22%2C%20%22%235C6BC0%22%2C%20%22%237E57C2%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22CCP%20Margin%3A%20Confidence%20Level%20%C3%97%20Liquidation%20Horizon%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20real%20CCP%20parameters%0A%20%20%20%20_ccp_points%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Horizon%20(days)%22%3A%20%5B3%2C%205%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Margin%20(%25)%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_stats5.norm.ppf(0.99)%20*%200.02%20*%20np.sqrt(3)%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_stats5.norm.ppf(0.997)%20*%200.02%20*%20np.sqrt(5)%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_stats5.norm.ppf(0.99)%20*%200.02%20*%20np.sqrt(1)%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22CCP%22%3A%20%5B%22NSCC%20(99%25%2C%203d)%22%2C%20%22LCH%20(99.7%25%2C%205d)%22%2C%20%22CME%20(99%25%2C%201d)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ccp_marks%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_ccp_points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_point(size%3D120%2C%20filled%3DTrue%2C%20shape%3D%22diamond%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Horizon%20(days)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Margin%20(%25)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.value(%22%23333333%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ccp_labels%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_ccp_points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_text(align%3D%22left%22%2C%20dx%3D8%2C%20fontSize%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Horizon%20(days)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Margin%20(%25)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22CCP%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_margin_chart%20%2B%20_ccp_marks%20%2B%20_ccp_labels)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20diamond%20markers%20show%20approximate%20margin%20levels%20for%20real%20CCPs%20(using%0A%20%20%20%20parametric%20VaR%20with%20%CF%83%20%3D%202%25%20daily%20vol).%20In%20practice%2C%20each%20CCP%20uses%0A%20%20%20%20additional%20components%20%E2%80%94%20NSCC%20adds%20gap%20risk%20and%20mark-to-market%20charges%2C%0A%20%20%20%20LCH%20uses%20historical%20simulation%20with%20volatility%20scaling%2C%20and%20CME%20uses%0A%20%20%20%20Monte%20Carlo%20%E2%80%94%20so%20actual%20margins%20differ%20from%20these%20parametric%20estimates.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A