Bonding Curves: Interactive Explorer

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Bonding%20Curves%3A%20Interactive%20Explorer%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Bonding%20Curves%20%E2%80%94%20Deterministic%20Primary%20Markets%0A%0A%20%20%20%20A%20**bonding%20curve**%20is%20a%20primary-market%20mechanism%3A%20a%20smart%20contract%20that%20**mints**%0A%20%20%20%20(creates)%20brand-new%20tokens%20and%20sells%20them%20along%20a%20deterministic%20price%20schedule.%0A%20%20%20%20Every%20buy%20creates%20new%20tokens%3B%20every%20sell%20**burns**%20(destroys)%20them.%20The%20price%0A%20%20%20%20depends%20only%20on%20how%20many%20tokens%20exist.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20lets%20you%20explore%20different%20curve%20shapes%2C%20compute%20costs%20as%20areas%0A%20%20%20%20under%20the%20curve%2C%20and%20simulate%20a%20Pump.fun-style%20token%20launch%20from%20bonding%20curve%0A%20%20%20%20through%20graduation.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20Unlike%20a%20secondary%20market%20(an%20AMM)%2C%20where%20existing%20tokens%20change%20hands%2C%0A%20%20%20%20%3E%20a%20bonding%20curve%20brings%20tokens%20into%20existence.%20Buying%20*is*%20minting%20here%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%3E%20but%20only%20because%20this%20is%20a%20primary%20market.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Curve%20Shapes%20%E2%80%94%20How%20Price%20Grows%20with%20Supply%0A%0A%20%20%20%20The%20bonding%20curve%20defines%20a%20**price%20function**%20%24p(S)%24%3A%20the%20price%20of%20the%20next%0A%20%20%20%20token%20when%20%24S%24%20tokens%20already%20exist.%20Different%20shapes%20control%20how%20steeply%20the%0A%20%20%20%20price%20climbs%20%E2%80%94%20and%20therefore%20how%20much%20early%20buyers%20are%20rewarded%20relative%20to%0A%20%20%20%20late%20buyers.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20set%20a%20starting%20price%2C%20ending%20price%2C%20and%20total%20supply.%20All%20three%0A%20%20%20%20curves%20are%20fitted%20to%20pass%20through%20the%20same%20start%20and%20end%20points%2C%20so%20you%20can%0A%20%20%20%20compare%20their%20**shapes**%20directly%3A%20linear%20rises%20at%20a%20constant%20rate%2C%20quadratic%0A%20%20%20%20starts%20flat%20and%20accelerates%2C%20exponential%20starts%20gentle%20and%20goes%20steep.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20sp.Symbol(%22S%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_a%2C%20_b%20%3D%20sp.symbols(%22a%20b%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_curves%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Linear%22%3A%20(_a%20%2B%20_b%20*%20_S%2C%20sp.integrate(_a%20%2B%20_b%20*%20_S%2C%20(sp.Symbol(%22s%22)%2C%200%2C%20_S)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Quadratic%22%3A%20(_a%20*%20_S**2%2C%20sp.integrate(_a%20*%20sp.Symbol(%22s%22)**2%2C%20(sp.Symbol(%22s%22)%2C%200%2C%20_S)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Exponential%22%3A%20(_a%20*%20sp.exp(_b%20*%20_S)%2C%20sp.integrate(_a%20*%20sp.exp(_b%20*%20sp.Symbol(%22s%22))%2C%20(sp.Symbol(%22s%22)%2C%200%2C%20_S)))%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20(_p%2C%20_c)%20in%20_curves.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%7B_name%7D%20%7C%20%24%7Bsp.latex(_p)%7D%24%20%7C%20%24%7Bsp.latex(sp.simplify(_c))%7D%24%20%7C%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20price%20functions%20and%20their%20cost%20integrals%3A**%0A%0A%20%20%20%20The%20total%20cost%20to%20mint%20from%20supply%20%240%24%20to%20%24S%24%20is%20%24C(0%2C%20S)%20%3D%20%5C%5Cint_0%5ES%20p(s)%5C%5C%2Cds%24.%0A%20%20%20%20This%20integral%20gives%20the%20reserve%20the%20contract%20holds.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Curve%20%7C%20Price%20%24p(S)%24%20%7C%20Cost%20%24C(0%2C%20S)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-------%7C-------------%7C----------------%7C%0A%20%20%20%20%7Bchr(10).join(_rows)%7D%0A%0A%20%20%20%20-%20**Linear**%3A%20price%20starts%20at%20%24a%24%20and%20grows%20steadily.%20Cost%20is%20quadratic%20%E2%80%94%20buying%0A%20%20%20%20%20%20%24n%24%20tokens%20from%20zero%20costs%20%24O(n%5E2)%24.%0A%20%20%20%20-%20**Quadratic**%3A%20steeper%20acceleration.%20Strongly%20rewards%20early%20buyers.%20Cost%20is%20cubic.%0A%20%20%20%20-%20**Exponential**%3A%20the%20most%20extreme%20%E2%80%94%20gentle%20at%20first%2C%20nearly%20vertical%20later.%0A%20%20%20%20%20%20Very%20large%20purchases%20become%20effectively%20impossible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20supply_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%205000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Total%20supply%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20start_price%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.001%2C%201.0%2C%20value%3D0.01%2C%20step%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Starting%20price%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20end_price%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%20100.0%2C%20value%3D10.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Ending%20price%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsupply_slider%2C%20start_price%2C%20end_price%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20end_price%2C%20start_price%2C%20supply_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20end_price%2C%20np%2C%20pd%2C%20start_price%2C%20supply_slider)%3A%0A%20%20%20%20_S_max%20%3D%20float(supply_slider.value)%0A%20%20%20%20_p0%20%3D%20start_price.value%0A%20%20%20%20_p1%20%3D%20max(end_price.value%2C%20_p0%20*%201.1)%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_S_max%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fit%20each%20curve%20so%20p(0)%20%3D%20p0%20and%20p(S_max)%20%3D%20p1%0A%20%20%20%20%23%20Linear%3A%20p(S)%20%3D%20p0%20%2B%20(p1-p0)%2FS_max%20*%20S%0A%20%20%20%20_linear%20%3D%20_p0%20%2B%20(_p1%20-%20_p0)%20%2F%20_S_max%20*%20_S%0A%0A%20%20%20%20%23%20Quadratic%3A%20p(S)%20%3D%20p0%20%2B%20(p1-p0)%2FS_max%5E2%20*%20S%5E2%0A%20%20%20%20_quadratic%20%3D%20_p0%20%2B%20(_p1%20-%20_p0)%20%2F%20_S_max**2%20*%20_S**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Exponential%3A%20p(S)%20%3D%20p0%20*%20(p1%2Fp0)%5E(S%2FS_max)%0A%20%20%20%20_exponential%20%3D%20_p0%20*%20(_p1%20%2F%20_p0)%20**%20(_S%20%2F%20_S_max)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Supply%20(S)%22%3A%20np.tile(_S%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20p(S)%22%3A%20np.concatenate(%5B_linear%2C%20_quadratic%2C%20_exponential%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Linear%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Quadratic%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Exponential%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Supply%20(S)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20p(S)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20per%20token%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Linear%22%2C%20%22Quadratic%22%2C%20%22Exponential%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%23059669%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Bonding%20curve%20shapes%3A%20all%20start%20at%20%7B_p0%7D%2C%20end%20at%20%7B_p1%3A.1f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Cost%20%3D%20Area%20Under%20the%20Curve%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20buy%20tokens%20from%20supply%20%24S_0%24%20to%20%24S_1%24%2C%20you%20don't%20pay%20a%20single%20price%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20you%20pay%20a%20**different%20price%20for%20each%20incremental%20token**%20because%20the%20price%20keeps%0A%20%20%20%20rising.%20The%20total%20cost%20is%20the%20area%20under%20the%20price%20curve%20between%20%24S_0%24%20and%20%24S_1%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24C(S_0%2C%20S_1)%20%3D%20%5Cint_%7BS_0%7D%5E%7BS_1%7D%20p(s)%5C%2Cds%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20contract's%20**reserve**%3A%20every%20unit%20of%20currency%20paid%20by%20buyers%20is%0A%20%20%20%20locked%20inside.%20When%20someone%20sells%20(burns%20tokens)%2C%20the%20reserve%20pays%20them%20back%0A%20%20%20%20along%20the%20same%20curve.%20The%20reserve%20guarantees%20there%20is%20always%20a%20bid.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20drag%20the%20buy%20range%20to%20see%20how%20the%20cost%20(shaded%20area)%20changes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20buy_start%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%20800%2C%20value%3D0%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Buy%20from%20supply%20S%E2%82%80%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20buy_end%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%201000%2C%20value%3D200%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Buy%20to%20supply%20S%E2%82%81%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bbuy_start%2C%20buy_end%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20buy_end%2C%20buy_start%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20buy_end%2C%0A%20%20%20%20buy_start%2C%0A%20%20%20%20end_price%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20start_price%2C%0A%20%20%20%20supply_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_S_max%20%3D%20float(supply_slider.value)%0A%20%20%20%20_p0%20%3D%20start_price.value%0A%20%20%20%20_p1%20%3D%20max(end_price.value%2C%20_p0%20*%201.1)%0A%20%20%20%20_slope%20%3D%20(_p1%20-%20_p0)%20%2F%20_S_max%0A%0A%20%20%20%20_s0%20%3D%20min(buy_start.value%2C%20_S_max%20-%2010)%0A%20%20%20%20_s1%20%3D%20min(max(buy_end.value%2C%20_s0%20%2B%2010)%2C%20_S_max)%0A%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_S_max%2C%20500)%0A%20%20%20%20_price%20%3D%20_p0%20%2B%20_slope%20*%20_S%0A%0A%20%20%20%20%23%20Area%20under%20curve%20for%20the%20buy%20range%0A%20%20%20%20_S_fill%20%3D%20np.linspace(_s0%2C%20_s1%2C%20200)%0A%20%20%20%20_price_fill%20%3D%20_p0%20%2B%20_slope%20*%20_S_fill%0A%0A%20%20%20%20_cost%20%3D%20np.trapezoid(_price_fill%2C%20_S_fill)%0A%20%20%20%20_tokens%20%3D%20_s1%20-%20_s0%0A%20%20%20%20_avg_price%20%3D%20_cost%20%2F%20_tokens%20if%20_tokens%20%3E%200%20else%200%0A%20%20%20%20_price_at_s0%20%3D%20_p0%20%2B%20_slope%20*%20_s0%0A%20%20%20%20_price_at_s1%20%3D%20_p0%20%2B%20_slope%20*%20_s1%0A%0A%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Supply%20(S)%22%3A%20_S%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20p(S)%22%3A%20_price%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_area_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Supply%20(S)%22%3A%20_S_fill%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20p(S)%22%3A%20_price_fill%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_line%20%3D%20alt.Chart(_curve_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232563eb%22%2C%20strokeWidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Supply%20(S)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20p(S)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20per%20token%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_area%20%3D%20alt.Chart(_area_df).mark_area(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232563eb%22%2C%20opacity%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Supply%20(S)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Price%20p(S)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_area%20%2B%20_line).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Cost%20to%20mint%20tokens%20%7B_s0%3A.0f%7D%E2%80%93%7B_s1%3A.0f%7D%20(linear%20curve)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Buying%20tokens%20%7B_s0%3A.0f%7D%20through%20%7B_s1%3A.0f%7D%20(linear%20curve)%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Tokens%20minted%3A%20%7B_tokens%3A%2C.0f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Total%20cost%20(shaded%20area)%3A%20%7B_cost%3A%2C.4f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Average%20price%20per%20token%3A%20%7B_avg_price%3A%2C.6f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20at%20entry%20(%24S_0%20%3D%20%7B_s0%3A.0f%7D%24)%3A%20%7B_price_at_s0%3A%2C.6f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20at%20exit%20(%24S_1%20%3D%20%7B_s1%3A.0f%7D%24)%3A%20%7B_price_at_s1%3A%2C.6f%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20average%20price%20is%20always%20between%20the%20entry%20and%20exit%20prices%20%E2%80%94%20you%20pay%0A%20%20%20%20%20%20%20%20more%20for%20each%20successive%20token.%20Earlier%20buyers%20paid%20less%20for%20the%20same%20tokens.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Virtual%20AMM%20%E2%80%94%20Pump.fun's%20Bonding%20Curve%0A%0A%20%20%20%20Pump.fun%20could%20have%20used%20a%20simple%20polynomial%20curve.%20Instead%20it%20chose%20a%0A%20%20%20%20**virtual%20constant-product%20AMM**.%20Why%3F%0A%0A%20%20%20%20**Reason%201%20%E2%80%94%20Seamless%20graduation.**%20A%20Pump.fun%20token%20starts%20on%20the%20bonding%0A%20%20%20%20curve%20and%20eventually%20migrates%20to%20a%20real%20constant-product%20AMM%20pool%20(PumpSwap).%0A%20%20%20%20If%20the%20bonding%20curve%20uses%20the%20*same%20math*%20as%20the%20AMM%2C%20the%20transition%20is%0A%20%20%20%20smooth%3A%20the%20price%2C%20the%20reserve%20ratios%2C%20and%20the%20trading%20mechanics%20are%0A%20%20%20%20identical%20before%20and%20after%20graduation.%20A%20polynomial%20curve%20would%20create%20a%0A%20%20%20%20price%20discontinuity%20at%20the%20handoff.%0A%0A%20%20%20%20**Reason%202%20%E2%80%94%20Battle-tested%20math.**%20The%20constant-product%20formula%20(%24xy%20%3D%20k%24)%0A%20%20%20%20has%20been%20running%20on%20Uniswap%20since%202018.%20Its%20properties%20%E2%80%94%20price%20impact%2C%0A%20%20%20%20slippage%2C%20fee%20accumulation%20%E2%80%94%20are%20deeply%20understood%20and%20audited.%20Reusing%20it%0A%20%20%20%20means%20fewer%20bugs%20and%20more%20predictable%20behavior%20than%20a%20bespoke%20curve.%0A%0A%20%20%20%20**Reason%203%20%E2%80%94%20Two%20intuitive%20knobs.**%20The%20contract%20starts%20with%20**virtual%0A%20%20%20%20reserves**%3A%20it%20*pretends*%20the%20pool%20already%20holds%20%24x_v%24%20tokens%20and%20%24y_v%24%20SOL%2C%0A%20%20%20%20even%20though%20no%20one%20deposited%20anything.%20These%20two%20parameters%20control%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Initial%20price**%3A%20%24y_v%20%2F%20x_v%24%0A%20%20%20%20-%20**Curve%20depth**%3A%20%24k%20%3D%20x_v%20%5Ccdot%20y_v%24%20(larger%20%24k%24%20%3D%20lower%20price%20impact)%0A%0A%20%20%20%20When%20someone%20buys%2C%20the%20contract%20treats%20it%20as%20a%20swap%20on%20this%20virtual%20AMM%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Buyer%20sends%20%24%5CDelta%20y%24%20SOL%20%E2%86%92%20SOL%20reserve%20grows%20to%20%24y_v%20%2B%20%5CDelta%20y%24%0A%20%20%20%202.%20Constant-product%20formula%20determines%20tokens%20to%20mint%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5CDelta%20x%20%3D%20x_v%20-%20k%2F(y_v%20%2B%20%5CDelta%20y)%24%0A%20%20%20%203.%20Tokens%20are%20freshly%20minted%20(primary%20market%20%E2%80%94%20not%20withdrawn%20from%20a%20pool)%0A%20%20%20%204.%20Virtual%20token%20reserve%20shrinks%20by%20%24%5CDelta%20x%24%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20adjust%20the%20virtual%20reserves%20and%20buy%20SOL%20to%20see%20the%20price%20trajectory.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20virt_tokens%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100_000%2C%202_000_000%2C%20value%3D1_000_000%2C%20step%3D100_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Virtual%20token%20reserve%20(x_v)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20virt_sol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20200%2C%20value%3D30%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Virtual%20SOL%20reserve%20(y_v)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20buy_sol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%20100%2C%20value%3D20%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22SOL%20spent%20by%20buyer%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bvirt_tokens%2C%20virt_sol%2C%20buy_sol%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20buy_sol%2C%20virt_sol%2C%20virt_tokens%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20buy_sol%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20virt_sol%2C%20virt_tokens)%3A%0A%20%20%20%20_xv%20%3D%20float(virt_tokens.value)%0A%20%20%20%20_yv%20%3D%20float(virt_sol.value)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_xv%20*%20_yv%0A%20%20%20%20_buy%20%3D%20float(buy_sol.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%20incremental%20buys%0A%20%20%20%20_n_steps%20%3D%20200%0A%20%20%20%20_sol_steps%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_buy%2C%20_n_steps%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_token_reserve%20%3D%20%5B_xv%5D%0A%20%20%20%20_sol_reserve%20%3D%20%5B_yv%5D%0A%20%20%20%20_prices%20%3D%20%5B_yv%20%2F%20_xv%5D%0A%20%20%20%20_tokens_minted_cum%20%3D%20%5B0.0%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(1%2C%20len(_sol_steps))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dy%20%3D%20_sol_steps%5B_i%5D%20-%20_sol_steps%5B_i%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_new%20%3D%20_sol_reserve%5B-1%5D%20%2B%20_dy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_new%20%3D%20_k%20%2F%20_y_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20_token_reserve%5B-1%5D%20-%20_x_new%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_token_reserve.append(_x_new)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sol_reserve.append(_y_new)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_prices.append(_y_new%20%2F%20_x_new)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tokens_minted_cum.append(_tokens_minted_cum%5B-1%5D%20%2B%20_dx)%0A%0A%20%20%20%20_total_minted%20%3D%20_tokens_minted_cum%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_final_price%20%3D%20_prices%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_initial_price%20%3D%20_prices%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20vs%20tokens%20minted%20chart%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Tokens%20minted%22%3A%20_tokens_minted_cum%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20(SOL%20per%20token)%22%3A%20_prices%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23dc2626%22%2C%20strokeWidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Tokens%20minted%3AQ%22%2C%20title%3D%22Cumulative%20tokens%20minted%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20(SOL%20per%20token)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Marginal%20price%20(SOL%2Ftoken)%22)%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Virtual%20AMM%20bonding%20curve%20(x_v%3D%7B_xv%3A%2C.0f%7D%2C%20y_v%3D%7B_yv%3A%2C.0f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**After%20spending%20%7B_buy%3A.0f%7D%20SOL%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Tokens%20minted%3A%20%7B_total_minted%3A%2C.0f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Initial%20price%3A%20%7B_initial_price%3A.8f%7D%20SOL%2Ftoken%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Final%20price%3A%20%7B_final_price%3A.8f%7D%20SOL%2Ftoken%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20increase%3A%20%7B(_final_price%20%2F%20_initial_price%20-%201)%20*%20100%3A.1f%7D%25%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Virtual%20token%20reserve%20remaining%3A%20%7B_token_reserve%5B-1%5D%3A%2C.0f%7D%20of%20%7B_xv%3A%2C.0f%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20curve%20is%20hyperbolic%3A%20price%20rises%20gently%20at%20first%2C%20then%20accelerates%20as%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20virtual%20token%20reserve%20depletes.%20You%20can%20never%20mint%20all%20%24x_v%24%20tokens%20%E2%80%94%20the%20last%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ones%20are%20infinitely%20expensive%20(same%20property%20as%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bconstant-product%20AMM%5D(..%2Fdefi-constant-product-amm%2Fnotebook%2F)).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_xv%2C%20_yv%2C%20_S%2C%20_C%20%3D%20sp.symbols(%22x_v%20y_v%20S%20C%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_xv%20*%20_yv%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20after%20S%20tokens%20minted%20and%20C%20SOL%20paid%20in%0A%20%20%20%20_price%20%3D%20(_yv%20%2B%20_C)%20%2F%20(_xv%20-%20_S)%0A%0A%20%20%20%20%23%20From%20invariant%3A%20(xv%20-%20S)(yv%20%2B%20C)%20%3D%20k%20%3D%20xv*yv%0A%20%20%20%20%23%20So%20C%20%3D%20xv*yv%2F(xv%20-%20S)%20-%20yv%0A%20%20%20%20_C_of_S%20%3D%20sp.simplify(_k%20%2F%20(_xv%20-%20_S)%20-%20_yv)%0A%20%20%20%20_price_of_S%20%3D%20sp.simplify((_yv%20%2B%20_C_of_S)%20%2F%20(_xv%20-%20_S))%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20price%20as%20a%20function%20of%20supply%3A**%0A%0A%20%20%20%20The%20virtual%20AMM%20maintains%20the%20invariant%20%24(x_v%20-%20S)(y_v%20%2B%20C)%20%3D%20x_v%20y_v%20%3D%20k%24%2C%0A%20%20%20%20where%20%24S%24%20is%20the%20number%20of%20tokens%20minted%20and%20%24C%24%20is%20the%20total%20SOL%20paid%20in.%0A%0A%20%20%20%20Solving%20for%20%24C%24%20in%20terms%20of%20%24S%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24C(S)%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Bx_v%20y_v%7D%7D%7B%7Bx_v%20-%20S%7D%7D%20-%20y_v%20%3D%20%7Bsp.latex(_C_of_S)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20marginal%20price%20at%20supply%20%24S%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p(S)%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7By_v%20%2B%20C(S)%7D%7D%7B%7Bx_v%20-%20S%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_price_of_S)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20simplifies%20to%20%24p(S)%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Bx_v%20y_v%7D%7D%7B%7B(x_v%20-%20S)%5E2%7D%7D%24%20%E2%80%94%20the%20price%20grows%20as%0A%20%20%20%20the%20**square**%20of%20how%20close%20you%20are%20to%20depleting%20the%20virtual%20reserve.%20The%0A%20%20%20%20closer%20%24S%24%20gets%20to%20%24x_v%24%2C%20the%20more%20expensive%20each%20token%20becomes%2C%20rising%0A%20%20%20%20without%20bound.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Pump.fun%20Lifecycle%20%E2%80%94%20From%20Launch%20to%20Graduation%0A%0A%20%20%20%20A%20Pump.fun%20token%20goes%20through%20two%20phases%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Bonding%20curve%20(primary%20market)%3A**%20buyers%20mint%20tokens%2C%20SOL%20accumulates%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20reserve.%20Price%20rises%20along%20the%20virtual%20AMM%20curve.%0A%20%20%20%202.%20**Graduation%3A**%20when%20the%20reserve%20reaches%20~85%20SOL%2C%20the%20bonding%20curve%20closes%0A%20%20%20%20%20%20%20permanently.%20The%20accumulated%20SOL%20and%20remaining%20tokens%20are%20deposited%20into%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20real%20constant-product%20AMM%20pool%20(PumpSwap).%20The%20token%20transitions%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20primary%20to%20secondary%20market.%0A%0A%20%20%20%20The%20simulation%20below%20shows%20a%20sequence%20of%20random%20buys%20hitting%20the%20bonding%20curve%0A%20%20%20%20until%20graduation%20triggers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20grad_threshold%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2020%2C%20150%2C%20value%3D85%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Graduation%20threshold%20(SOL)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_virt_tokens%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20500_000%2C%202_000_000%2C%20value%3D1_000_000%2C%20step%3D100_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Virtual%20token%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_virt_sol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20100%2C%20value%3D30%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Virtual%20SOL%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bgrad_threshold%2C%20sim_virt_tokens%2C%20sim_virt_sol%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20grad_threshold%2C%20sim_virt_sol%2C%20sim_virt_tokens%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20grad_threshold%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sim_virt_sol%2C%20sim_virt_tokens)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_xv%20%3D%20float(sim_virt_tokens.value)%0A%20%20%20%20_yv%20%3D%20float(sim_virt_sol.value)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_xv%20*%20_yv%0A%20%20%20%20_grad%20%3D%20float(grad_threshold.value)%0A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20_xv%20%20%23%20current%20virtual%20token%20reserve%0A%20%20%20%20_y%20%3D%20_yv%20%20%23%20current%20virtual%20SOL%20reserve%0A%0A%20%20%20%20_history%20%3D%20%5B%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22buy_num%22%3A%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22sol_in_reserve%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22tokens_minted%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22price%22%3A%20_yv%20%2F%20_xv%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22phase%22%3A%20%22Bonding%20Curve%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%5D%0A%0A%20%20%20%20_total_sol%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_total_minted%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_graduated%20%3D%20False%0A%20%20%20%20_buy_num%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20while%20_total_sol%20%3C%20_grad%20and%20_x%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buy_num%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Random%20buy%20between%200.5%20and%205%20SOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dy%20%3D%20_rng.uniform(0.5%2C%205.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_total_sol%20%2B%20_dy%20%3E%20_grad%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dy%20%3D%20_grad%20-%20_total_sol%20%20%23%20cap%20at%20graduation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_new%20%3D%20_y%20%2B%20_dy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_new%20%3D%20_k%20%2F%20_y_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20_x%20-%20_x_new%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%3D%20_x_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20%3D%20_y_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_total_sol%20%2B%3D%20_dy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_total_minted%20%2B%3D%20_dx%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_history.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22buy_num%22%3A%20_buy_num%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sol_in_reserve%22%3A%20_total_sol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tokens_minted%22%3A%20_total_minted%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22price%22%3A%20_y%20%2F%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22phase%22%3A%20%22Bonding%20Curve%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_total_sol%20%3E%3D%20_grad%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_graduated%20%3D%20True%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_history)%0A%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23dc2626%22%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20point%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22buy_num%3AQ%22%2C%20title%3D%22Buy%20%23%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20(SOL%2Ftoken)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22buy_num%3AQ%22%2C%20title%3D%22Buy%20%23%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%22%2C%20format%3D%22.8f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22sol_in_reserve%3AQ%22%2C%20title%3D%22SOL%20in%20reserve%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22tokens_minted%3AQ%22%2C%20title%3D%22Tokens%20minted%22%2C%20format%3D%22%2C.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D550%2C%20height%3D200%2C%20title%3D%22Price%20trajectory%22)%0A%0A%20%20%20%20_sol_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_area(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23059669%22%2C%20opacity%3D0.4%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20%22%23059669%22%2C%20%22strokeWidth%22%3A%202%7D%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22buy_num%3AQ%22%2C%20title%3D%22Buy%20%23%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22sol_in_reserve%3AQ%22%2C%20title%3D%22SOL%20in%20reserve%22)%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D550%2C%20height%3D200%2C%20title%3D%22Reserve%20accumulation%20toward%20graduation%22)%0A%0A%20%20%20%20_grad_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B_grad%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_grad_label%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20%5B_grad%5D%2C%20%22x%22%3A%20%5B0%5D%2C%20%22text%22%3A%20%5Bf%22Graduation%3A%20%7B_grad%3A.0f%7D%20SOL%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22left%22%2C%20dx%3D5%2C%20dy%3D-8%2C%20color%3D%22%236b7280%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22text%3AN%22)%0A%0A%20%20%20%20_final_price%20%3D%20_history%5B-1%5D%5B%22price%22%5D%0A%20%20%20%20_initial_price%20%3D%20_history%5B0%5D%5B%22price%22%5D%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_price_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sol_chart%20%2B%20_grad_line%20%2B%20_grad_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Simulation%20results%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Buys%20to%20graduation%3A%20**%7B_buy_num%7D**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Total%20SOL%20raised%3A%20**%7B_total_sol%3A.1f%7D**%20SOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Tokens%20minted%3A%20**%7B_total_minted%3A%2C.0f%7D**%20of%20%7B_xv%3A%2C.0f%7D%20virtual%20supply%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20at%20launch%3A%20%7B_initial_price%3A.8f%7D%20SOL%2Ftoken%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20at%20graduation%3A%20%7B_final_price%3A.8f%7D%20SOL%2Ftoken%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Price%20multiple%3A%20**%7B_final_price%20%2F%20_initial_price%3A.1f%7Dx**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22**Graduated!**%20The%20bonding%20curve%20is%20now%20permanently%20closed.%20The%20%22%20%2B%20f%22%7B_total_sol%3A.1f%7D%20SOL%20and%20remaining%20tokens%20would%20be%20deposited%20into%20a%20PumpSwap%20AMM%20pool%20for%20secondary%20trading.%22%20if%20_graduated%20else%20%22Not%20yet%20graduated%20%E2%80%94%20more%20buys%20needed.%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Comparing%20Curve%20Shapes%0A%0A%20%20%20%20The%20choice%20of%20curve%20shape%20determines%20the%20**early-buyer%20advantage**%3A%20how%20much%0A%20%20%20%20cheaper%20the%20first%20tokens%20are%20relative%20to%20the%20last.%20This%20table%20compares%20the%0A%20%20%20%20cost%20to%20mint%20the%20first%2010%25%20of%20supply%20vs.%20the%20last%2010%25%2C%20using%20the%20same%0A%20%20%20%20normalized%20curves%20from%20section%201.%0A%0A%20%20%20%20A%20steeper%20curve%20rewards%20early%20participants%20more%20%E2%80%94%20but%20also%20means%20late%20buyers%0A%20%20%20%20face%20dramatically%20higher%20costs%2C%20which%20can%20deter%20participation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(end_price%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20start_price%2C%20supply_slider)%3A%0A%20%20%20%20_S_max%20%3D%20float(supply_slider.value)%0A%20%20%20%20_p0%20%3D%20start_price.value%0A%20%20%20%20_p1%20%3D%20max(end_price.value%2C%20_p0%20*%201.1)%0A%0A%20%20%20%20_S0_early%2C%20_S1_early%20%3D%200%2C%20int(_S_max%20*%200.1)%0A%20%20%20%20_S0_late%2C%20_S1_late%20%3D%20int(_S_max%20*%200.9)%2C%20int(_S_max)%0A%0A%20%20%20%20%23%20All%20curves%20normalized%3A%20p(0)%20%3D%20p0%2C%20p(S_max)%20%3D%20p1%0A%20%20%20%20_lin_slope%20%3D%20(_p1%20-%20_p0)%20%2F%20_S_max%0A%20%20%20%20_quad_coeff%20%3D%20(_p1%20-%20_p0)%20%2F%20_S_max**2%0A%20%20%20%20_exp_ratio%20%3D%20_p1%20%2F%20_p0%0A%0A%20%20%20%20def%20_linear_cost(s0%2C%20s1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_p0%20*%20(s1%20-%20s0)%20%2B%20_lin_slope%20%2F%202%20*%20(s1**2%20-%20s0**2)%0A%0A%20%20%20%20def%20_quad_cost(s0%2C%20s1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_p0%20*%20(s1%20-%20s0)%20%2B%20_quad_coeff%20%2F%203%20*%20(s1**3%20-%20s0**3)%0A%0A%20%20%20%20def%20_exp_cost(s0%2C%20s1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_b%20%3D%20np.log(_exp_ratio)%20%2F%20_S_max%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_p0%20%2F%20_b%20*%20(np.exp(_b%20*%20s1)%20-%20np.exp(_b%20*%20s0))%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_fn%20in%20%5B(%22Linear%22%2C%20_linear_cost)%2C%20(%22Quadratic%22%2C%20_quad_cost)%2C%20(%22Exponential%22%2C%20_exp_cost)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_early%20%3D%20_fn(_S0_early%2C%20_S1_early)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_late%20%3D%20_fn(_S0_late%2C%20_S1_late)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20_name%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Cost%3A%20first%2010%25%22%3A%20f%22%7B_early%3A.4f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Cost%3A%20last%2010%25%22%3A%20f%22%7B_late%3A.4f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Late%2FEarly%20ratio%22%3A%20f%22%7B_late%20%2F%20_early%3A.1f%7Dx%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20Using%20the%20curves%20from%20section%201%20(start%20price%20%3D%20%7B_p0%7D%2C%20end%20price%20%3D%20%7B_p1%3A.1f%7D%2C%0A%20%20%20%20supply%20%3D%20%7B_S_max%3A%2C.0f%7D)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7B_df.to_markdown(index%3DFalse)%7D%0A%0A%20%20%20%20The%20**late%2Fearly%20ratio**%20shows%20the%20early-buyer%20advantage.%20With%20a%20linear%20curve%2C%0A%20%20%20%20late%20buyers%20pay%20moderately%20more.%20With%20exponential%2C%20the%20ratio%20explodes%20%E2%80%94%20early%0A%20%20%20%20buyers%20get%20an%20enormous%20discount.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20why%20curve%20shape%20is%20a%20design%20decision%20with%20real%20economic%20consequences%3A%0A%20%20%20%20steeper%20curves%20incentivize%20rushing%20in%20early%2C%20which%20can%20create%20speculative%0A%20%20%20%20frenzies.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Key%20takeaways%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20bonding%20curve%20is%20a%20**primary%20market**%3A%20buying%20mints%20new%20tokens%2C%20selling%20burns%20them.%0A%20%20%20%20%20%20This%20is%20different%20from%20a%20secondary%20market%20(AMM)%20where%20existing%20tokens%20change%20hands.%0A%20%20%20%20-%20The%20**price%20function**%20%24p(S)%24%20determines%20the%20price%20at%20each%20supply%20level.%20The%20**cost**%0A%20%20%20%20%20%20is%20the%20integral%20(area%20under%20the%20curve).%0A%20%20%20%20-%20The%20**virtual%20AMM**%20approach%20(Pump.fun)%20reuses%20the%20constant-product%20formula%20with%0A%20%20%20%20%20%20imaginary%20initial%20reserves.%20It%20gives%20a%20hyperbolic%20price%20curve%3A%20gentle%20at%20first%2C%0A%20%20%20%20%20%20steep%20as%20the%20virtual%20reserve%20depletes.%0A%20%20%20%20-%20**Graduation**%20transitions%20a%20token%20from%20primary%20(bonding%20curve)%20to%20secondary%0A%20%20%20%20%20%20(constant-product%20AMM)%20market%20when%20the%20reserve%20hits%20a%20threshold.%0A%20%20%20%20-%20Curve%20shape%20controls%20the%20**early-buyer%20advantage**%20%E2%80%94%20a%20critical%20design%20choice%0A%20%20%20%20%20%20that%20affects%20speculation%20dynamics.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A