Constant-Product AMM: Interactive Explorer

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Constant-Product%20AMM%3A%20Interactive%20Explorer%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20The%20Constant-Product%20AMM%0A%0A%20%20%20%20Every%20decentralized%20exchange%20you've%20heard%20of%20--%20Uniswap%2C%20Raydium%2C%20PumpSwap%20--%20runs%20on%0A%20%20%20%20the%20same%20core%20idea%3A%20a%20pool%20holds%20reserves%20of%20two%20tokens%2C%20and%20a%20simple%20formula%20determines%0A%20%20%20%20the%20exchange%20rate.%20This%20notebook%20lets%20you%20**see**%20how%20it%20works%20by%20manipulating%20the%0A%20%20%20%20parameters%20yourself.%0A%0A%20%20%20%20The%20formula%20is%20just%3A%20%24x%20%5Ccdot%20y%20%3D%20k%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24x%24%20and%20%24y%24%20are%20the%20**reserves**%20(the%20amount%20of%20each%20token%20the%20pool%20holds)%2C%0A%20%20%20%20and%20%24k%24%20is%20a%20constant%20called%20the%20**invariant**%20(a%20rule%20that%20must%20always%20hold%20--%20no%0A%20%20%20%20trade%20is%20allowed%20to%20break%20it).%20That's%20it.%20Everything%20else%20--%20price%20impact%2C%20slippage%2C%0A%20%20%20%20LP%20profitability%20--%20follows%20from%20this%20one%20rule.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20The%20Invariant%20Curve%0A%0A%20%20%20%20The%20pool%20holds%20reserves%20of%20Token%20X%20(e.g.%20SOL)%20and%20Token%20Y%20(e.g.%20a%20memecoin).%0A%20%20%20%20The%20product%20%24x%20%5Ccdot%20y%24%20must%20stay%20constant%20after%20every%20trade%20(that's%20the%20invariant).%0A%20%20%20%20This%20constraint%20traces%20out%20a%20**hyperbola**%20--%20the%20curve%20below.%0A%0A%20%20%20%20The%20current%20price%20is%20determined%20by%20the%20**ratio%20of%20reserves**%3A%20%24P%20%3D%20y%2Fx%24.%0A%20%20%20%20Economists%20call%20this%20the%20**marginal%20price**%20--%20the%20price%20you'd%20get%20for%20a%0A%20%20%20%20trade%20so%20small%20it's%20essentially%20zero-sized.%20In%20practice%2C%20it's%20the%20price%20the%0A%20%20%20%20pool%20is%20*quoting*%20right%20now%2C%20before%20anyone%20trades.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20drag%20the%20reserve%20sliders%20and%20watch%20how%20the%20curve%20shape%20changes.%0A%20%20%20%20A%20deeper%20pool%20(higher%20reserves)%20has%20a%20flatter%20curve%20near%20the%20current%20price%2C%0A%20%20%20%20which%20means%20less%20price%20impact%20per%20trade.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%2C%20_k%20%3D%20sp.symbols(%22x%20y%20k%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_invariant%20%3D%20sp.Eq(_x%20*%20_y%2C%20_k)%0A%20%20%20%20_y_of_x%20%3D%20sp.solve(_invariant%2C%20_y)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_marginal_raw%20%3D%20-sp.diff(_y_of_x%2C%20_x)%0A%20%20%20%20%23%20Substitute%20k%20%3D%20xy%20to%20get%20y%2Fx%20form%0A%20%20%20%20_marginal_simplified%20%3D%20_marginal_raw.subs(_k%2C%20_x%20*%20_y)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20the%20quoted%20price%20from%20the%20invariant%3A**%0A%0A%20%20%20%20The%20pool%20enforces%3A%20%24%7Bsp.latex(_invariant)%7D%24%0A%0A%20%20%20%20Solve%20for%20%24y%24%3A%20%24y%20%3D%20%7Bsp.latex(_y_of_x)%7D%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**marginal%20price**%20(the%20current%20quoted%20price)%20of%20X%20in%20terms%20of%20Y%20is%20the%0A%20%20%20%20magnitude%20of%20the%20slope%20of%20this%20curve%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P(x)%20%3D%20-%5C%5Cfrac%7B%7Bdy%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%20%3D%20-%5C%5Cfrac%7B%7Bd%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%5C%5Cleft(%7Bsp.latex(_y_of_x)%7D%5C%5Cright)%20%3D%20%7Bsp.latex(_marginal_raw)%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_marginal_simplified)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20price%20is%20just%20the%20**ratio%20of%20reserves**%3A%20%24P%20%3D%20y%2Fx%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20x_reserve%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%2010000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Token%20X%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20y_reserve%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%2010000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Token%20Y%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bx_reserve%2C%20y_reserve%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20x_reserve%2C%20y_reserve%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20x_reserve%2C%20y_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20x_reserve.value%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20y_reserve.value%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_x0%20*%20_y0%0A%20%20%20%20_price%20%3D%20_y0%20%2F%20_x0%0A%0A%20%20%20%20_xs%20%3D%20np.linspace(max(50%2C%20_x0%20*%200.2)%2C%20_x0%20*%203%2C%20300)%0A%20%20%20%20_ys%20%3D%20_k%20%2F%20_xs%0A%0A%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Token%20X%20reserve%22%3A%20_xs%2C%20%22Token%20Y%20reserve%22%3A%20_ys%7D)%0A%20%20%20%20_point_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Token%20X%20reserve%22%3A%20%5B_x0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Token%20Y%20reserve%22%3A%20%5B_y0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5Bf%22Current%20state%5Cnx%3D%7B_x0%7D%2C%20y%3D%7B_y0%7D%5CnPrice%20%3D%20%7B_price%3A.4f%7D%20Y%20per%20X%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_curve%20%3D%20alt.Chart(_curve_df).mark_line(color%3D%22%232563eb%22%2C%20strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Token%20X%20reserve%3AQ%22%2C%20title%3D%22Token%20X%20reserve%20(x)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Token%20Y%20reserve%3AQ%22%2C%20title%3D%22Token%20Y%20reserve%20(y)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_dot%20%3D%20alt.Chart(_point_df).mark_circle(size%3D120%2C%20color%3D%22%23dc2626%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Token%20X%20reserve%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Token%20Y%20reserve%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_curve%20%2B%20_dot).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22xy%20%3D%20k%20%3D%20%7B_k%3A%2C.0f%7D%20%20%20%7C%20%20%20Marginal%20price%20%3D%20%7B_price%3A.4f%7D%20Y%20per%20X%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20x_reserve%2C%20y_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20x_reserve.value%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20y_reserve.value%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_x0%20*%20_y0%0A%20%20%20%20_price%20%3D%20_y0%20%2F%20_x0%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Current%20pool%20state%3A**%0A%20%20%20%20-%20Token%20X%20reserve%3A%20**%7B_x0%3A%2C%7D**%20%7C%20Token%20Y%20reserve%3A%20**%7B_y0%3A%2C%7D**%0A%20%20%20%20-%20Invariant%20%24k%24%20%3D%20%7B_x0%3A%2C%7D%20x%20%7B_y0%3A%2C%7D%20%3D%20**%7B_k%3A%2C%7D**%0A%20%20%20%20-%20Marginal%20price%3A%20**%7B_price%3A.4f%7D%20Y%20per%20X**%20(%3D%20y%2Fx)%0A%0A%20%20%20%20The%20price%20is%20just%20the%20ratio%20of%20reserves.%20More%20Y%20relative%20to%20X%20%3D%20X%20is%20more%20expensive.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20What%20Happens%20When%20You%20Trade%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20buy%20Token%20Y%20by%20depositing%20Token%20X%2C%20the%20pool's%20X%20reserve%20goes%20up%20and%0A%20%20%20%20its%20Y%20reserve%20goes%20down%20--%20but%20the%20product%20%24x%20%5Ccdot%20y%24%20stays%20the%20same.%0A%0A%20%20%20%20The%20key%20insight%3A%20**you%20always%20get%20a%20worse%20price%20than%20the%20current%20quote.**%20The%0A%20%20%20%20bigger%20your%20trade%20relative%20to%20the%20pool%2C%20the%20worse%20the%20price.%20This%20gap%20between%0A%20%20%20%20the%20quoted%20price%20and%20what%20you%20actually%20receive%20is%20called%20**price%20impact**%20--%0A%20%20%20%20the%20cost%20of%20moving%20along%20the%20curve.%0A%0A%20%20%20%20Terminology%3A%20the%20quoted%20price%20(before%20your%20trade)%20is%20the%20**marginal%20price**.%0A%20%20%20%20The%20average%20price%20you%20actually%20pay%20across%20your%20entire%20trade%20is%20the%0A%20%20%20%20**execution%20price**.%20Execution%20price%20is%20always%20worse%20than%20the%20marginal%20price.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20drag%20the%20trade%20size%20slider%20and%20watch%20the%20execution%20price%20diverge%0A%20%20%20%20from%20the%20quoted%20(marginal)%20price.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%2C%20_dx%2C%20_dy%20%3D%20sp.symbols(%22x%20y%20Delta_x%20Delta_y%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_x%20*%20_y%0A%0A%20%20%20%20%23%20Invariant%20after%20swap%0A%20%20%20%20_post%20%3D%20(_x%20%2B%20_dx)%20*%20(_y%20-%20_dy)%0A%20%20%20%20_eq%20%3D%20sp.Eq(_post%2C%20_k)%0A%20%20%20%20_dy_solved%20%3D%20sp.solve(_eq%2C%20_dy)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_dy_simplified%20%3D%20sp.simplify(_dy_solved)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Execution%20price%0A%20%20%20%20_p_exec%20%3D%20sp.simplify(_dy_simplified%20%2F%20_dx)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20how%20much%20Y%20do%20you%20get%20for%20a%20swap%20of%20%24%5C%5CDelta%20x%24%3F**%0A%0A%20%20%20%20After%20the%20swap%2C%20the%20invariant%20must%20still%20hold%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x)(y%20-%20%5C%5CDelta%20y)%20%3D%20xy%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solve%20for%20%24%5C%5CDelta%20y%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5CDelta%20y%20%3D%20%7Bsp.latex(_dy_simplified)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**execution%20price**%20(average%20price%20you%20actually%20pay)%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bexec%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20y%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20x%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_p_exec)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Compare%20with%20the%20marginal%20price%20%24P_0%20%3D%20y%2Fx%24.%20Since%20%24x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x%20%3E%20x%24%2C%0A%20%20%20%20the%20execution%20price%20is%20always%20**worse**%20than%20the%20quoted%20price.%20That%20gap%20is%20price%20impact.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20x_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_max_trade%20%3D%20int(x_reserve.value%20*%200.5)%0A%20%20%20%20trade_size%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%20max(_max_trade%2C%202)%2C%20value%3Dmin(100%2C%20_max_trade)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3Dmax(1%2C%20_max_trade%20%2F%2F%20100)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Trade%20size%20(Token%20X%20in)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fee_rate%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%200.05%2C%20value%3D0.003%2C%20step%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%20(e.g.%200.003%20%3D%200.3%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Btrade_size%2C%20fee_rate%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20fee_rate%2C%20trade_size%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20fee_rate%2C%20np%2C%20pd%2C%20trade_size%2C%20x_reserve%2C%20y_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20x_reserve.value%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20y_reserve.value%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_x0%20*%20_y0%0A%20%20%20%20_dx%20%3D%20trade_size.value%0A%20%20%20%20_fee%20%3D%20fee_rate.value%0A%0A%20%20%20%20_dx_eff%20%3D%20_dx%20*%20(1%20-%20_fee)%0A%20%20%20%20_dy%20%3D%20(_y0%20*%20_dx_eff)%20%2F%20(_x0%20%2B%20_dx_eff)%0A%0A%20%20%20%20_marginal_price%20%3D%20_y0%20%2F%20_x0%0A%20%20%20%20_exec_price%20%3D%20_dy%20%2F%20_dx%20if%20_dx%20%3E%200%20else%20_marginal_price%0A%20%20%20%20_impact_pct%20%3D%20(1%20-%20_exec_price%20%2F%20_marginal_price)%20*%20100%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%20_dx%20%2F%20_x0%0A%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x0%20%2B%20_dx%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y0%20-%20_dy%0A%20%20%20%20_post_price%20%3D%20_y1%20%2F%20_x1%0A%0A%20%20%20%20%23%20Curve%0A%20%20%20%20_xs%20%3D%20np.linspace(max(50%2C%20_x0%20*%200.2)%2C%20_x0%20*%203%2C%20300)%0A%20%20%20%20_ys%20%3D%20_k%20%2F%20_xs%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fee-adjusted%20curve%20(k'%20%3E%20k)%0A%20%20%20%20_k_new%20%3D%20(_x0%20%2B%20_dx)%20*%20(_y0%20-%20_dy)%0A%20%20%20%20_ys_new%20%3D%20_k_new%20%2F%20_xs%0A%0A%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_xs%2C%20%22y_before%22%3A%20_ys%2C%20%22y_after%22%3A%20_ys_new%7D)%0A%0A%20%20%20%20_points_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_x0%2C%20_x1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20%5B_y0%2C%20_y1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5B%22Before%20swap%22%2C%20%22After%20swap%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22color%22%3A%20%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_curve_before%20%3D%20alt.Chart(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_xs%2C%20%22y%22%3A%20_ys%7D)%0A%20%20%20%20).mark_line(color%3D%22%2393c5fd%22%2C%20strokeWidth%3D1.5%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20title%3D%22Token%20X%20reserve%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22y%3AQ%22%2C%20title%3D%22Token%20Y%20reserve%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_curve_after%20%3D%20alt.Chart(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_xs%2C%20%22y%22%3A%20_ys_new%7D)%0A%20%20%20%20).mark_line(color%3D%22%232563eb%22%2C%20strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_dots%20%3D%20alt.Chart(_points_df).mark_circle(size%3D120).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22label%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Before%20swap%22%2C%20%22After%20swap%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3Dalt.Legend(title%3D%22Pool%20state%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%2C%20%22x%3AQ%22%2C%20%22y%3AQ%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_arrow_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_x0%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5B_y0%5D%2C%20%22x2%22%3A%20%5B_x1%5D%2C%20%22y2%22%3A%20%5B_y1%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Secant%20line%20(execution%20price)%0A%20%20%20%20_secant_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_x0%20-%2050%2C%20_x1%20%2B%2050%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20%5B_y0%20%2B%2050%20*%20_exec_price%2C%20_y1%20-%2050%20*%20_exec_price%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_curve_before%20%2B%20_curve_after%20%2B%20_dots).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Swap%3A%20deposit%20%7B_dx%3A%2C%7D%20X%2C%20receive%20%7B_dy%3A%2C.2f%7D%20Y%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(fee_rate%2C%20mo%2C%20trade_size%2C%20x_reserve%2C%20y_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20x_reserve.value%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20y_reserve.value%0A%20%20%20%20_dx%20%3D%20trade_size.value%0A%20%20%20%20_fee%20%3D%20fee_rate.value%0A%0A%20%20%20%20_dx_eff%20%3D%20_dx%20*%20(1%20-%20_fee)%0A%20%20%20%20_dy%20%3D%20(_y0%20*%20_dx_eff)%20%2F%20(_x0%20%2B%20_dx_eff)%0A%0A%20%20%20%20_marginal_price%20%3D%20_y0%20%2F%20_x0%0A%20%20%20%20_exec_price%20%3D%20_dy%20%2F%20_dx%20if%20_dx%20%3E%200%20else%20_marginal_price%0A%20%20%20%20_impact_pct%20%3D%20(1%20-%20_exec_price%20%2F%20_marginal_price)%20*%20100%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%20_dx%20%2F%20_x0%0A%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x0%20%2B%20_dx%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y0%20-%20_dy%0A%20%20%20%20_post_price%20%3D%20_y1%20%2F%20_x1%0A%0A%20%20%20%20_fee_cost%20%3D%20_dx%20*%20_fee%0A%20%20%20%20_k_old%20%3D%20_x0%20*%20_y0%0A%20%20%20%20_k_new%20%3D%20_x1%20*%20(_y0%20-%20_dy)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Swap%20results%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Metric%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Trade%20size%20(%24%5C%5CDelta%20x%24)%20%7C%20%7B_dx%3A%2C%7D%20X%20(%7B_alpha%3A.1%25%7D%20of%20pool)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20You%20receive%20(%24%5C%5CDelta%20y%24)%20%7C%20%7B_dy%3A%2C.2f%7D%20Y%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Fee%20paid%20%7C%20%7B_fee_cost%3A%2C.2f%7D%20X%20(%7B_fee%3A.1%25%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Marginal%20price%20(before)%20%7C%20%7B_marginal_price%3A.4f%7D%20Y%2FX%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Execution%20price**%20%7C%20**%7B_exec_price%3A.4f%7D%20Y%2FX**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Post-trade%20price%20%7C%20%7B_post_price%3A.4f%7D%20Y%2FX%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Price%20impact**%20%7C%20**%7B_impact_pct%3A.2f%7D%25**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24k%24%20before%20%7C%20%7B_k_old%3A%2C.0f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24k%24%20after%20(grew%20from%20fees)%20%7C%20%7B_k_new%3A%2C.0f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Notice%3A%20the%20execution%20price%20is%20**always%20worse**%20than%20the%20marginal%20price.%0A%20%20%20%20The%20bigger%20the%20trade%20relative%20to%20the%20pool%2C%20the%20worse%20the%20execution.%0A%20%20%20%20%7B%22**This%20trade%20moves%20the%20price%20significantly!**%22%20if%20_impact_pct%20%3E%205%20else%20%22%22%7D%0A%20%20%20%20%7B%22The%20fee%20also%20increased%20%24k%24%20--%20the%20pool%20got%20slightly%20deeper.%22%20if%20_fee%20%3E%200%20else%20%22%22%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Price%20Impact%20Is%20Sub-Linear%20(Concave)%0A%0A%20%20%20%20Here's%20a%20surprising%20property%3A%20the%20AMM%20is%20actually%20**more%20forgiving**%20for%0A%20%20%20%20large%20trades%20than%20a%20linear%20model%20would%20predict.%20A%20trade%20that%20uses%2050%25%20of%0A%20%20%20%20the%20pool%20doesn't%20cost%2050%25%20in%20price%20impact%20--%20it%20costs%20only%2033.3%25.%0A%0A%20%20%20%20The%20impact%20function%20%24%5Calpha%2F(1%2B%5Calpha)%24%20is%20**concave**%20(curves%20downward%2C%0A%20%20%20%20like%20the%20outside%20of%20a%20bowl).%20Each%20additional%20percent%20of%20pool%20you%20trade%0A%20%20%20%20adds%20*less*%20additional%20impact%20than%20the%20previous%20percent.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20good%20for%20traders%20but%20also%20means%20sandwich%20attacks%20on%20small%20pools%0A%20%20%20%20are%20profitable%3A%20even%20though%20impact%20is%20sub-linear%2C%20a%20small%20pool%20still%20has%0A%20%20%20%20large%20absolute%20impact%2C%20giving%20attackers%20room%20to%20extract%20value.%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20below%20shows%20impact%20as%20a%20percentage%20for%20different%20trade%20sizes.%0A%20%20%20%20The%20dashed%20line%20shows%20Kyle's%20linear%20model%20--%20notice%20how%20the%20AMM%20curve%0A%20%20%20%20bends%20**below**%20it%20for%20larger%20trades.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Don't%20confuse%20this%20with%20the%20invariant%20curve.**%20The%20hyperbola%20%24y%20%3D%20k%2Fx%24%0A%20%20%20%20%3E%20bends%20away%20from%20both%20axes%20--%20the%20price%20per%20unit%20goes%20to%20infinity%20as%20you%0A%20%20%20%20%3E%20drain%20the%20pool.%20That's%20the%20pool%20drainage%20defense.%20The%20*impact%20function*%0A%20%20%20%20%3E%20is%20a%20different%20curve%20that%20bends%20below%20the%20linear%20line%20(concave).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%20sp.Symbol(%22alpha%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_P0%20%3D%20sp.Symbol(%22P_0%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_p_exec%20%3D%20_P0%20%2F%20(1%20%2B%20_alpha)%0A%20%20%20%20_impact%20%3D%20sp.simplify(1%20-%20_p_exec%20%2F%20_P0)%0A%20%20%20%20_series%20%3D%20sp.series(_impact%2C%20_alpha%2C%200%2C%20n%3D4).removeO()%0A%20%20%20%20_second_deriv%20%3D%20sp.diff(_impact%2C%20_alpha%2C%202)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20price%20impact%20as%20a%20function%20of%20trade%20size%3A**%0A%0A%20%20%20%20Define%20the%20**relative%20trade%20size**%20%24%5C%5Calpha%20%3D%20%5C%5CDelta%20x%20%2F%20x%24.%20Then%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bexec%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7BP_0%7D%7D%7B%7B1%20%2B%20%5C%5Calpha%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**price%20impact**%20(fraction%20of%20price%20lost)%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BImpact%7D%7D%20%3D%201%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7BP_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bexec%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7BP_0%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_impact)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Taylor%20expansion%20for%20small%20%24%5C%5Calpha%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BImpact%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7Bsp.latex(_series)%7D%20%2B%20%5C%5Ccdots%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20derivative%20%24%7Bsp.latex(_second_deriv)%7D%24%20is%20always%20**negative**%20%E2%80%94%20the%20impact%0A%20%20%20%20function%20is%20**concave**%20(curves%20downward).%20Each%20additional%20percent%20of%20pool%0A%20%20%20%20you%20trade%20adds%20*less*%20additional%20impact%20than%20the%20previous%20percent.%20The%20AMM%0A%20%20%20%20is%20more%20forgiving%20for%20large%20trades%20than%20a%20linear%20model%20would%20be.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20x_reserve)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20x_reserve.value%0A%20%20%20%20_alphas%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.5%2C%20200)%0A%0A%20%20%20%20_amm_impact%20%3D%20_alphas%20%2F%20(1%20%2B%20_alphas)%20*%20100%0A%20%20%20%20_linear_impact%20%3D%20_alphas%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%20(%25%20of%20pool)%22%3A%20np.concatenate(%5B_alphas%20*%20100%2C%20_alphas%20*%20100%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20impact%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_amm_impact%2C%20_linear_impact%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Model%22%3A%20%5B%22AMM%20(convex)%22%5D%20*%20len(_alphas)%20%2B%20%5B%22Linear%20approximation%22%5D%20*%20len(_alphas)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%20size%20(%25%20of%20pool)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20size%20(%25%20of%20pool%20reserves)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20impact%20(%25)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Model%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22AMM%20(convex)%22%2C%20%22Linear%20approximation%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%239ca3af%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Model%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22AMM%20(convex)%22%2C%20%22Linear%20approximation%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Price%20impact%3A%20AMM%20vs%20linear%20(pool%20depth%20%3D%20%7B_x0%3A%2C%7D%20X)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Key%20takeaways%3A**%0A%20%20%20%20-%20For%20small%20trades%20(%3C%205%25%20of%20pool)%2C%20impact%20is%20*roughly*%20linear%20--%20the%20AMM%20behaves%20like%20a%20normal%20market.%0A%20%20%20%20-%20For%20large%20trades%2C%20the%20AMM%20curve%20**bends%20below**%20the%20linear%20line%20(concave).%20The%20AMM%20is%0A%20%20%20%20%20%20*more%20forgiving*%20for%20large%20trades%20than%20a%20linear%20model%20would%20predict.%0A%20%20%20%20-%20Each%20additional%20percent%20of%20pool%20you%20trade%20adds%20*less*%20impact%20than%20the%20last%20(diminishing%20marginal%20impact).%0A%20%20%20%20-%20The%20defense%20against%20pool%20drainage%20comes%20from%20the%20**shape%20of%20the%20hyperbola**%20(%24y%20%3D%20k%2Fx%24)%3A%0A%20%20%20%20%20%20it%20bends%20away%20from%20both%20axes%2C%20so%20the%20price%20per%20unit%20goes%20to%20infinity%20as%20reserves%20approach%20zero.%0A%20%20%20%20%20%20You%20can%20never%20fully%20drain%20the%20pool.%0A%20%20%20%20-%20The%20deeper%20the%20pool%20(higher%20reserves)%2C%20the%20flatter%20the%20curve%20--%20large%20trades%20cost%20less.%0A%20%20%20%20%20%20This%20is%20why%20liquidity%20depth%20matters%20so%20much.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20How%20Fees%20Make%20the%20Pool%20Grow%0A%0A%20%20%20%20Every%20swap%20pays%20a%20fee%20(e.g.%200.3%25%20on%20Uniswap%2C%201%25%20on%20PumpSwap).%20This%20fee%20is%0A%20%20%20%20added%20to%20the%20pool's%20reserves%20but%20was%20NOT%20used%20in%20the%20invariant%20calculation.%0A%20%20%20%20The%20result%3A%20after%20every%20trade%2C%20%24k%24%20is%20slightly%20higher%20than%20before.%0A%0A%20%20%20%20Over%20many%20trades%2C%20%24k%24%20ratchets%20upward%20--%20the%20pool%20gets%20deeper%20even%20without%0A%20%20%20%20new%20LP%20deposits.%20This%20is%20how%20fee%20income%20accrues%20to%20liquidity%20providers%3A%0A%20%20%20%20their%20share%20of%20the%20pool%20is%20worth%20more%20because%20the%20pool%20itself%20grew.%0A%0A%20%20%20%20The%20simulation%20below%20runs%20a%20sequence%20of%20random%20trades%20and%20shows%20how%20%24k%24%0A%20%20%20%20evolves%20over%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%2C%20_dx%2C%20_gamma%20%3D%20sp.symbols(%22x%20y%20Delta_x%20gamma%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_dx_eff%20%3D%20(1%20-%20_gamma)%20*%20_dx%0A%20%20%20%20_dy%20%3D%20(_y%20*%20_dx_eff)%20%2F%20(_x%20%2B%20_dx_eff)%0A%0A%20%20%20%20%23%20k%20after%20swap%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x%20%2B%20_dx%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y%20-%20_dy%0A%20%20%20%20_k_new%20%3D%20sp.simplify(_x1%20*%20_y1)%0A%20%20%20%20_k_old%20%3D%20_x%20*%20_y%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fee-adjusted%20execution%20price%0A%20%20%20%20_p_exec_fee%20%3D%20sp.simplify(_dy%20%2F%20_dx)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20how%20fees%20grow%20the%20pool%20(step%20by%20step)%3A**%0A%0A%20%20%20%20**Step%201%20%E2%80%94%20The%20trader%20sends%20%24%5C%5CDelta%20x%24%20into%20the%20pool.**%20This%20is%20the%20total%0A%20%20%20%20amount%20of%20token%20X%20the%20trader%20deposits.%0A%0A%20%20%20%20**Step%202%20%E2%80%94%20The%20pool%20skims%20the%20fee.**%20The%20fee%20is%20%24%5C%5Cgamma%20%5C%5Ccdot%20%5C%5CDelta%20x%24.%0A%20%20%20%20Only%20the%20remainder%20enters%20the%20swap%20formula%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5CDelta%20x_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_dx_eff)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20if%20you%20send%201%2C000%20X%20with%20a%200.3%25%20fee%3A%20the%20fee%20is%203%20X%2C%20and%0A%20%20%20%20%24%5C%5CDelta%20x_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%20%3D%20997%24%20X.%0A%0A%20%20%20%20**Step%203%20%E2%80%94%20The%20swap%20uses%20%24%5C%5CDelta%20x_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%24%20(not%20%24%5C%5CDelta%20x%24).**%0A%20%20%20%20The%20pool%20computes%20how%20much%20Y%20to%20return%20using%20only%20the%20post-fee%20amount%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5CDelta%20y%20%3D%20%7Bsp.latex(_dy)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Step%204%20%E2%80%94%20But%20the%20pool%20keeps%20ALL%20of%20%24%5C%5CDelta%20x%24.**%20The%20new%20reserves%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20X%20reserve%3A%20%24x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x%24%20(the%20full%20amount%2C%20including%20the%20fee)%0A%20%20%20%20-%20Y%20reserve%3A%20%24y%20-%20%5C%5CDelta%20y%24%20(computed%20from%20%24%5C%5CDelta%20x_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20The%20fee%20portion%20(%24%5C%5Cgamma%20%5C%5Ccdot%20%5C%5CDelta%20x%20%3D%203%24%20X%20in%20our%20example)%20sits%20in%20the%0A%20%20%20%20pool's%20X%20reserves%20but%20was%20never%20%22used%22%20by%20the%20swap%20formula.%0A%0A%20%20%20%20**Why%20this%20makes%20%24k%24%20grow.**%20The%20new%20invariant%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24k'%20%3D%20(x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x)(y%20-%20%5C%5CDelta%20y)%20%3D%20%7Bsp.latex(_k_new)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24%5C%5CDelta%20y%24%20was%20computed%20as%20if%20only%20%24%5C%5CDelta%20x_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%24%20entered%0A%20%20%20%20the%20pool%20(which%20would%20have%20kept%20%24k%24%20exactly%20constant)%2C%20but%20the%20X%20reserve%0A%20%20%20%20actually%20grew%20by%20the%20larger%20%24%5C%5CDelta%20x%24%2C%20we%20get%20%24k'%20%3E%20k%20%3D%20%7Bsp.latex(_k_old)%7D%24.%0A%20%20%20%20**Every%20swap%20ratchets%20%24k%24%20upward.**%0A%0A%20%20%20%20The%20**fee-adjusted%20execution%20price**%20(what%20the%20trader%20actually%20gets%20per%0A%20%20%20%20unit%20of%20X%20deposited)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bexec%7D%7D%7D%7D%5E%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bfee%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20y%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20x%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_p_exec_fee)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20worse%20than%20the%20no-fee%20price%20by%20roughly%20a%20factor%20of%20%24(1%20-%20%5C%5Cgamma)%24%20for%0A%20%20%20%20small%20trades%20%E2%80%94%20the%20trader%20pays%20the%20fee%20on%20top%20of%20price%20impact.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_trades_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20500%2C%20value%3D100%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20trades%20to%20simulate%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20avg_trade_pct%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%2010.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Avg%20trade%20size%20(%25%20of%20pool)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_fee%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.001%2C%200.02%2C%20value%3D0.003%2C%20step%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_trades_slider%2C%20avg_trade_pct%2C%20sim_fee%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20avg_trade_pct%2C%20n_trades_slider%2C%20sim_fee%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20avg_trade_pct%2C%0A%20%20%20%20n_trades_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20sim_fee%2C%0A%20%20%20%20x_reserve%2C%0A%20%20%20%20y_reserve%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20float(x_reserve.value)%0A%20%20%20%20_y%20%3D%20float(y_reserve.value)%0A%20%20%20%20_fee%20%3D%20sim_fee.value%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20n_trades_slider.value%0A%20%20%20%20_avg_alpha%20%3D%20avg_trade_pct.value%20%2F%20100%0A%0A%20%20%20%20_k_history%20%3D%20%5B_x%20*%20_y%5D%0A%20%20%20%20_price_history%20%3D%20%5B_y%20%2F%20_x%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_alpha%20%3D%20_rng.exponential(_avg_alpha)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_alpha%20%3D%20min(_alpha%2C%200.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_rng.random()%20%3C%200.5%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20_alpha%20*%20_x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dx_eff%20%3D%20_dx%20*%20(1%20-%20_fee)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dy%20%3D%20(_y%20*%20_dx_eff)%20%2F%20(_x%20%2B%20_dx_eff)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%2B%3D%20_dx%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20-%3D%20_dy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dy_in%20%3D%20_alpha%20*%20_y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dy_eff%20%3D%20_dy_in%20*%20(1%20-%20_fee)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dx_out%20%3D%20(_x%20*%20_dy_eff)%20%2F%20(_y%20%2B%20_dy_eff)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20%2B%3D%20_dy_in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20-%3D%20_dx_out%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_history.append(_x%20*%20_y)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_price_history.append(_y%20%2F%20_x)%0A%0A%20%20%20%20_k_growth%20%3D%20%5B(_k%20%2F%20_k_history%5B0%5D%20-%201)%20*%20100%20for%20_k%20in%20_k_history%5D%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20%23%22%3A%20list(range(len(_k_history)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22k%20growth%20(%25)%22%3A%20_k_growth%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(color%3D%22%23059669%22%2C%20strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%20%23%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20number%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22k%20growth%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Invariant%20k%20growth%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D250%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Fee%20accumulation%3A%20k%20grows%20%7B_k_growth%5B-1%5D%3A.2f%7D%25%20over%20%7B_n%7D%20trades%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20this%20means%20for%20LPs%3A**%0A%20%20%20%20-%20The%20growth%20of%20%24k%24%20is%20the%20fee%20income%20--%20it's%20the%20pool%20getting%20deeper.%0A%20%20%20%20-%20More%20trades%20%3D%20more%20fee%20income.%20More%20volume%20%3D%20better%20for%20LPs.%0A%20%20%20%20-%20BUT%3A%20if%20the%20price%20moves%20far%20from%20where%20the%20LP%20deposited%2C%20impermanent%20loss%20can%0A%20%20%20%20%20%20exceed%20the%20fee%20income.%20That's%20the%20LP's%20central%20tradeoff%20--%20explored%20in%20the%0A%20%20%20%20%20%20%5BImpermanent%20Loss%5D(..%2Fimpermanent-loss%2F)%20notebook.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A