Impermanent Loss: Interactive Explorer

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Impermanent%20Loss%3A%20Interactive%20Explorer%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Impermanent%20Loss%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20deposit%20tokens%20into%20a%20liquidity%20pool%2C%20you%20earn%20trading%20fees%20--%20but%20you%20also%0A%20%20%20%20take%20on%20a%20hidden%20cost.%20If%20the%20price%20moves%20away%20from%20where%20you%20deposited%2C%20**arbitrageurs**%0A%20%20%20%20(bots%20that%20automatically%20exploit%20price%20differences%20between%20markets)%20rebalance%20the%20pool%2C%0A%20%20%20%20and%20you%20end%20up%20with%20**less%20value**%20than%20if%20you'd%20simply%20held%20the%20tokens%20in%20your%20wallet.%0A%20%20%20%20That%20gap%20is%20**impermanent%20loss**%20(IL).%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20IL%20formula%20step%20by%20step%2C%20then%20lets%20you%20explore%20it%20interactively.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20%22Impermanent%22%20is%20misleading%20--%20the%20loss%20is%20real%20and%20permanent%20unless%20the%20price%0A%20%20%20%20%3E%20reverts%20to%20exactly%20where%20you%20started.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20How%20the%20Pool%20Rebalances%0A%0A%20%20%20%20A%20liquidity%20pool%20holds%20**reserves**%20(its%20token%20balances)%20of%20two%20tokens%20(say%20ETH%0A%20%20%20%20and%20USDC)%20and%20enforces%20the%20constant-product%20**invariant**%20(a%20rule%20that%20can%20never%0A%20%20%20%20be%20broken)%3A%20%24x%20%5Ccdot%20y%20%3D%20k%24.%20The%20**price**%20is%20just%20the%20ratio%20of%20reserves%3A%20%24P%20%3D%20y%2Fx%24.%0A%0A%20%20%20%20When%20the%20market%20price%20changes%20elsewhere%2C%20arbitrageurs%20trade%20against%20the%20pool%0A%20%20%20%20until%20its%20price%20matches%20the%20market.%20This%20changes%20the%20reserves%20but%20preserves%20%24k%24.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20move%20the%20price%20ratio%20slider%20and%20watch%20the%20reserves%20shift.%0A%20%20%20%20When%20the%20price%20goes%20up%2C%20the%20pool%20sells%20the%20appreciating%20token%20(X)%20and%0A%20%20%20%20accumulates%20the%20other%20(Y).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_x0%2C%20_y0%2C%20_r%20%3D%20sp.symbols(%22x_0%20y_0%20r%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_x0%20*%20_y0%0A%0A%20%20%20%20%23%20New%20reserves%20after%20price%20moves%20by%20ratio%20r%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x0%20%2F%20sp.sqrt(_r)%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y0%20*%20sp.sqrt(_r)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Verify%20invariant%20preserved%0A%20%20%20%20_k_check%20%3D%20sp.simplify(_x1%20*%20_y1)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20new%20reserves%20after%20a%20price%20change%3A**%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20reserves%20%24(x_0%2C%20y_0)%24%20and%20invariant%20%24k%20%3D%20x_0%20y_0%24.%0A%20%20%20%20The%20price%20moves%20from%20%24P_0%20%3D%20y_0%2Fx_0%24%20to%20%24P_1%20%3D%20r%20%5C%5Ccdot%20P_0%24%2C%0A%20%20%20%20where%20%24r%20%3D%20P_1%2FP_0%24%20is%20the%20**price%20ratio**.%0A%0A%20%20%20%20The%20new%20reserves%20must%20satisfy%20both%20%24x_1%20y_1%20%3D%20k%24%20and%20%24y_1%2Fx_1%20%3D%20r%20P_0%24.%0A%20%20%20%20Solving%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24x_1%20%3D%20%7Bsp.latex(_x1)%7D%20%5C%5Cqquad%20y_1%20%3D%20%7Bsp.latex(_y1)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Verification%3A%20%24x_1%20%5C%5Ccdot%20y_1%20%3D%20%7Bsp.latex(_k_check)%7D%20%3D%20k%24%20%5C%5Ccheckmark%0A%0A%20%20%20%20When%20%24r%20%3E%201%24%20(price%20goes%20up)%3A%20%24x_1%20%3C%20x_0%24%20and%20%24y_1%20%3E%20y_0%24%20--%20the%20pool%0A%20%20%20%20**sold%20the%20winner%20and%20bought%20the%20loser**.%20This%20is%20the%20mechanism%20of%20IL.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20price_ratio%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%205.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Price%20ratio%20r%20%3D%20P1%2FP0%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20initial_x%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%205000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20X%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bprice_ratio%2C%20initial_x%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20initial_x%2C%20price_ratio%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20initial_x%2C%20np%2C%20pd%2C%20price_ratio)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20float(initial_x.value)%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20_x0%20%20%23%20start%20with%20equal%20reserves%20for%20simplicity%0A%20%20%20%20_r%20%3D%20price_ratio.value%0A%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x0%20%2F%20np.sqrt(_r)%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y0%20*%20np.sqrt(_r)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Token%22%3A%20%5B%22Token%20X%22%2C%20%22Token%20X%22%2C%20%22Token%20Y%22%2C%20%22Token%20Y%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22State%22%3A%20%5B%22Before%22%2C%20%22After%22%2C%20%22Before%22%2C%20%22After%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Reserve%22%3A%20%5B_x0%2C%20_x1%2C%20_y0%2C%20_y1%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_bar(cornerRadiusTopLeft%3D4%2C%20cornerRadiusTopRight%3D4).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22State%3AN%22%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Reserve%3AQ%22%2C%20title%3D%22Reserve%20amount%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22State%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Before%22%2C%20%22After%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%2393c5fd%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20column%3Dalt.Column(%22Token%3AN%22%2C%20title%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22Token%3AN%22%2C%20%22State%3AN%22%2C%20alt.Tooltip(%22Reserve%3AQ%22%2C%20format%3D%22%2C.1f%22)%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D180%2C%20height%3D250%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Reserve%20rebalancing%20at%20r%20%3D%20%7B_r%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(initial_x%2C%20mo%2C%20np%2C%20price_ratio)%3A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20float(initial_x.value)%0A%20%20%20%20_y0%20%3D%20_x0%0A%20%20%20%20_r%20%3D%20price_ratio.value%0A%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20_x0%20%2F%20np.sqrt(_r)%0A%20%20%20%20_y1%20%3D%20_y0%20*%20np.sqrt(_r)%0A%20%20%20%20_pct_x%20%3D%20(_x1%20%2F%20_x0%20-%201)%20*%20100%0A%20%20%20%20_pct_y%20%3D%20(_y1%20%2F%20_y0%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**At%20price%20ratio%20r%20%3D%20%7B_r%3A.2f%7D%3A**%0A%20%20%20%20-%20Token%20X%20reserve%3A%20%7B_x0%3A%2C.0f%7D%20-%3E%20%7B_x1%3A%2C.1f%7D%20(%7B_pct_x%3A%2B.1f%7D%25)%0A%20%20%20%20-%20Token%20Y%20reserve%3A%20%7B_y0%3A%2C.0f%7D%20-%3E%20%7B_y1%3A%2C.1f%7D%20(%7B_pct_y%3A%2B.1f%7D%25)%0A%20%20%20%20-%20%7B%22The%20pool%20sold%20X%20(the%20appreciating%20token)%20and%20accumulated%20Y.%22%20if%20_r%20%3E%201.01%20else%20%22The%20pool%20sold%20Y%20and%20accumulated%20X.%22%20if%20_r%20%3C%200.99%20else%20%22No%20rebalancing%20--%20price%20unchanged.%22%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Deriving%20the%20IL%20Formula%0A%0A%20%20%20%20The%20loss%20is%20the%20gap%20between%20the%20pool%20value%20and%20the%20%22just%20hold%22%20value.%0A%20%20%20%20Both%20are%20expressed%20in%20terms%20of%20the%20price%20ratio%20%24r%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_y0%2C%20_r%20%3D%20sp.symbols(%22y_0%20r%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20LP%20value%3A%20x1*P1%20%2B%20y1%2C%20using%20x0*P0%20%3D%20y0%0A%20%20%20%20_v_lp%20%3D%202%20*%20_y0%20*%20sp.sqrt(_r)%0A%0A%20%20%20%20%23%20HODL%20value%3A%20x0*P1%20%2B%20y0%20%3D%20y0*r%20%2B%20y0%0A%20%20%20%20_v_hodl%20%3D%20_y0%20*%20(_r%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IL%0A%20%20%20%20_il%20%3D%20sp.simplify((_v_lp%20-%20_v_hodl)%20%2F%20_v_hodl)%0A%20%20%20%20_il_alt%20%3D%20sp.simplify(2%20*%20sp.sqrt(_r)%20%2F%20(_r%20%2B%201)%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20%E2%80%94%20LP%20value%20vs%20HODL%20value%3A**%0A%0A%20%20%20%20Using%20the%20fact%20that%20%24x_0%20P_0%20%3D%20y_0%24%20(the%20initial%20deposit%20is%20balanced)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BLP%7D%7D%7D%7D%20%3D%20x_1%20P_1%20%2B%20y_1%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Bx_0%7D%7D%7B%7B%5C%5Csqrt%7B%7Br%7D%7D%7D%7D%20%5C%5Ccdot%20r%20P_0%20%2B%20y_0%20%5C%5Csqrt%7B%7Br%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_v_lp)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BHODL%7D%7D%7D%7D%20%3D%20x_0%20P_1%20%2B%20y_0%20%3D%20y_0%20r%20%2B%20y_0%20%3D%20%7Bsp.latex(_v_hodl)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**impermanent%20loss**%20is%20the%20relative%20shortfall%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BIL%7D%7D(r)%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7BV_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BLP%7D%7D%7D%7D%20-%20V_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BHODL%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7BV_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7BHODL%7D%7D%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_il_alt)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20master%20formula.%20It%20depends%20only%20on%20%24r%24%20--%20the%20ratio%20of%20final%20to%20initial%20price.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_r%20%3D%20sp.Symbol(%22r%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20sp.Symbol(%22s%22)%0A%0A%20%20%20%20_il%20%3D%202%20*%20sp.sqrt(_r)%20%2F%20(_r%20%2B%201)%20-%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20it's%20always%20%3C%3D%200%20via%20AM-GM%0A%20%20%20%20_am%20%3D%20(_r%20%2B%201)%20%2F%202%0A%20%20%20%20_gm%20%3D%20sp.sqrt(_r)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sech%20form%0A%20%20%20%20_il_sech%20%3D%20sp.sech(_s%20%2F%202)%20-%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Taylor%20expansion%0A%20%20%20%20_il_taylor%20%3D%20sp.series(_il.subs(_r%2C%20sp.exp(_s))%2C%20_s%2C%200%2C%20n%3D5).removeO()%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Key%20properties%20(all%20derived%20symbolically)%3A**%0A%0A%20%20%20%20**1.%20IL%20is%20always%20non-positive.**%20By%20the%20**AM-GM%20inequality**%20(Arithmetic%20Mean%0A%20%20%20%20%24%5C%5Cgeq%24%20Geometric%20Mean%20--%20a%20fundamental%20result%20saying%20the%20average%20of%20two%20numbers%0A%20%20%20%20is%20always%20at%20least%20as%20large%20as%20their%20geometric%20mean)%3A%0A%20%20%20%20%24%5C%5Cfrac%7B%7Br%2B1%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20%5C%5Cgeq%20%5C%5Csqrt%7B%7Br%7D%7D%24%2C%20so%0A%20%20%20%20%24%5C%5Cfrac%7B%7B2%5C%5Csqrt%7B%7Br%7D%7D%7D%7D%7B%7Br%2B1%7D%7D%20%5C%5Cleq%201%24%2C%20meaning%20IL%20%24%5C%5Cleq%200%24.%0A%20%20%20%20Equality%20only%20when%20%24r%20%3D%201%24%20(price%20unchanged).%0A%0A%20%20%20%20**2.%20IL%20is%20symmetric%20in%20log-price.**%20Let%20%24s%20%3D%20%5C%5Cln%20r%24.%20Then%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BIL%7D%7D(e%5Es)%20%3D%20%7Bsp.latex(_il_sech)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5C%5Coperatorname%7B%7Bsech%7D%7D%24%20is%20the%20**hyperbolic%20secant**%20(%24%5C%5Coperatorname%7B%7Bsech%7D%7D(x)%20%3D%201%2F%5C%5Ccosh(x)%24)%2C%0A%20%20%20%20a%20bell-shaped%20even%20function.%20Because%20it's%20even%20(symmetric%20around%20zero)%2C%0A%20%20%20%20a%202x%20increase%20and%20a%202x%20decrease%20give%20the%20**same%20loss**.%0A%0A%20%20%20%20**3.%20For%20small%20moves**%2C%20Taylor-expand%20around%20%24s%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BIL%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7Bsp.latex(_il_taylor)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20leading%20term%20is%20%24-s%5E2%2F8%20%3D%20-(%5C%5Cln%20r)%5E2%2F8%24%20--%20loss%20is%20**quadratic**%20in%20the%0A%20%20%20%20log-price%20change.%20In%20options%20language%2C%20this%20is%20like%20**gamma%20exposure**%3A%20gamma%0A%20%20%20%20measures%20how%20fast%20an%20option's%20delta%20changes%20with%20price%2C%20and%20a%20position%20that%20is%0A%20%20%20%20%22short%20gamma%22%20(like%20a%20short%20straddle)%20loses%20proportionally%20to%20the%20*square*%20of%0A%20%20%20%20the%20price%20move.%20An%20LP%20position%20is%20short%20gamma.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20The%20IL%20Curve%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20below%20shows%20impermanent%20loss%20as%20a%20function%20of%20the%20price%20ratio%20%24r%24.%0A%20%20%20%20Drag%20the%20vertical%20marker%20to%20see%20the%20exact%20IL%20at%20any%20price%20ratio.%0A%0A%20%20%20%20Notice%20the%20symmetry%3A%20a%202x%20increase%20(%24r%20%3D%202%24)%20and%20a%202x%20decrease%20(%24r%20%3D%200.5%24)%0A%20%20%20%20give%20the%20same%20~5.7%25%20loss.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20price_ratio)%3A%0A%20%20%20%20_rs%20%3D%20np.linspace(0.05%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_ils%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_rs)%20%2F%20(_rs%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%22%3A%20_rs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Impermanent%20Loss%20(%25)%22%3A%20_ils%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_r_val%20%3D%20price_ratio.value%0A%20%20%20%20_il_val%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_r_val)%20%2F%20(_r_val%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%20%20%20%20_marker_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%22%3A%20%5B_r_val%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Impermanent%20Loss%20(%25)%22%3A%20%5B_il_val%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5Bf%22r%20%3D%20%7B_r_val%3A.2f%7D%2C%20IL%20%3D%20%7B_il_val%3A.2f%7D%25%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_curve%20%3D%20alt.Chart(_curve_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23dc2626%22%2C%20strokeWidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%205%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Impermanent%20Loss%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Impermanent%20Loss%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_one%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5B1.0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_dot%20%3D%20alt.Chart(_marker_df).mark_circle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D120%2C%20color%3D%22%232563eb%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Impermanent%20Loss%20(%25)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_curve%20%2B%20_zero%20%2B%20_one%20%2B%20_dot).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Impermanent%20Loss%20vs%20Price%20Ratio%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_table_rs%20%3D%20%5B0.10%2C%200.25%2C%200.50%2C%200.75%2C%201.00%2C%201.25%2C%201.50%2C%202.00%2C%203.00%2C%205.00%2C%2010.00%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_r%20in%20_table_rs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_il%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_r)%20%2F%20(_r%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20r%22%3A%20f%22%7B_r%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ln(r)%22%3A%20f%22%7Bnp.log(_r)%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22IL%20(%25)%22%3A%20f%22%7B_il%3A.2f%7D%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Reference%20table%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7B_df.to_markdown(index%3DFalse)%7D%0A%0A%20%20%20%20Notice%20the%20symmetry%3A%20%24r%20%3D%202.00%24%20and%20%24r%20%3D%200.50%24%20both%20give%20%24-5.72%5C%5C%25%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20The%20LP%20as%20a%20Short%20Straddle%0A%0A%20%20%20%20An%20LP%20position%20is%20economically%20similar%20to%20**selling%20a%20straddle**%20(a%20combined%0A%20%20%20%20short%20call%20%2B%20short%20put%20in%20options).%20Both%20payoffs%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Profit%20when%20the%20price%20stays%20near%20the%20starting%20point%0A%20%20%20%20-%20Lose%20when%20the%20price%20moves%20far%20in%20either%20direction%0A%20%20%20%20-%20Have%20losses%20that%20are%20symmetric%20in%20log-price%20and%20quadratic%20for%20small%20moves%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20below%20overlays%20the%20IL%20curve%20with%20a%20short%20straddle%20payoff%0A%20%20%20%20(normalized%20to%20the%20same%20scale).%20The%20shapes%20are%20strikingly%20similar%20near%0A%20%20%20%20the%20money%20--%20both%20are%20concave%20and%20roughly%20parabolic.%20They%20diverge%20in%20the%0A%20%20%20%20tails%3A%20the%20straddle%20becomes%20linear%20while%20IL%20approaches%20%24-100%5C%25%24%20asymptotically.%0A%0A%20%20%20%20The%20fee%20income%20an%20LP%20earns%20is%20analogous%20to%20the%20**premium%20collected**%20from%0A%20%20%20%20selling%20the%20straddle.%20If%20realized%20volatility%20is%20low%20enough%20that%20fees%20exceed%20IL%2C%0A%20%20%20%20the%20LP%20profits%20--%20exactly%20as%20a%20straddle%20seller%20profits%20when%20realized%20vol%0A%20%20%20%20stays%20below%20implied%20vol.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_rs%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20np.log(_rs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IL%0A%20%20%20%20_il%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_rs)%20%2F%20(_rs%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Short%20straddle%20P%26L%20(normalized)%3A%20premium%20-%20%7CS%20-%20K%7C%0A%20%20%20%20%23%20Using%20log-moneyness%20and%20normalizing%20so%20that%20at-the-money%20match%0A%20%20%20%20%23%20Approximate%20short%20straddle%20P%26L%20as%3A%20premium%20-%20%7Cr%20-%201%7C%0A%20%20%20%20%23%20Normalize%20to%20match%20IL%20scale%20at%20r%3D2%0A%20%20%20%20_il_at_2%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(2)%20%2F%203%20-%201)%20*%20100%20%20%23%20-5.72%25%0A%20%20%20%20_straddle_raw%20%3D%20-np.abs(_rs%20-%201)%0A%20%20%20%20_straddle_scale%20%3D%20_il_at_2%20%2F%20_straddle_raw%5Bnp.argmin(np.abs(_rs%20-%202.0))%5D%0A%20%20%20%20_straddle%20%3D%20_straddle_raw%20*%20_straddle_scale%0A%0A%20%20%20%20%23%20Quadratic%20approximation%3A%20-s%5E2%2F8%0A%20%20%20%20_quadratic%20%3D%20-(_s%20**%202)%20%2F%208%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20r%22%3A%20np.tile(_rs%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22P%26L%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_il%2C%20_straddle%2C%20_quadratic%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22IL%20(actual)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Short%20straddle%20(scaled)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Quadratic%20approx%20(-s%5E2%2F8)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20ratio%20r%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0.1%2C%205%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22P%26L%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22P%26L%20%2F%20IL%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22IL%20(actual)%22%2C%20%22Short%20straddle%20(scaled)%22%2C%20%22Quadratic%20approx%20(-s%5E2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23dc2626%22%2C%20%22%232563eb%22%2C%20%22%239ca3af%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22IL%20(actual)%22%2C%20%22Short%20straddle%20(scaled)%22%2C%20%22Quadratic%20approx%20(-s%5E2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%2C%20%5B2%2C%202%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22IL%20vs%20Short%20Straddle%20vs%20Quadratic%20Approximation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Key%20takeaways%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20Near%20%24r%20%3D%201%24%20(small%20moves)%2C%20all%20three%20curves%20overlap%20--%20IL%20is%20well%20approximated%0A%20%20%20%20%20%20by%20%24-(%5C%5Cln%20r)%5E2%20%2F%208%24%2C%20and%20the%20straddle%20analogy%20is%20tight.%0A%20%20%20%20-%20For%20large%20moves%2C%20the%20straddle%20loss%20grows%20linearly%20while%20IL%20bends%20toward%20%24-100%5C%5C%25%24%0A%20%20%20%20%20%20asymptotically%20(you%20can%20never%20lose%20more%20than%20your%20entire%20deposit).%0A%20%20%20%20-%20This%20is%20why%20LP%20profitability%20analysis%20often%20borrows%20options%20language%3A%0A%20%20%20%20%20%20fees%20%3D%20premium%2C%20IL%20%3D%20gamma%20cost%2C%20and%20the%20break-even%20question%20is%0A%20%20%20%20%20%20%22is%20realized%20vol%20below%20the%20implied%20vol%20embedded%20in%20the%20fee%20rate%3F%22%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20When%20Do%20Fees%20Offset%20IL%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20LP's%20net%20P%26L%20is%3A%20**fees%20earned%20-%20impermanent%20loss**.%20The%20simulation%20below%0A%20%20%20%20runs%20random%20trades%20against%20a%20pool%2C%20accumulating%20fees%2C%20while%20the%20underlying%0A%20%20%20%20price%20drifts.%20You%20can%20see%20the%20race%20between%20fee%20income%20(green%2C%20going%20up)%20and%0A%20%20%20%20IL%20(red%2C%20going%20down).%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20increase%20volatility%20to%20see%20IL%20dominate.%20Increase%20the%20fee%20rate%0A%20%20%20%20to%20see%20fees%20win.%20This%20is%20the%20LP's%20central%20tradeoff.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20vol_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%20100%2C%20value%3D30%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Annualized%20volatility%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fee_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.001%2C%200.03%2C%20value%3D0.003%2C%20step%3D0.001%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%20per%20trade%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20n_days%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20365%2C%20value%3D90%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20days%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bvol_slider%2C%20fee_slider%2C%20n_days%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20fee_slider%2C%20n_days%2C%20vol_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20fee_slider%2C%20n_days%2C%20np%2C%20pd%2C%20vol_slider)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_vol%20%3D%20vol_slider.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_fee%20%3D%20fee_slider.value%0A%20%20%20%20_days%20%3D%20n_days.value%0A%20%20%20%20_trades_per_day%20%3D%2020%0A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20_days%20*%20_trades_per_day%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%201%20%2F%20(365%20*%20_trades_per_day)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%20price%20path%20(GBM)%0A%20%20%20%20_log_returns%20%3D%20_rng.normal(-0.5%20*%20_vol**2%20*%20_dt%2C%20_vol%20*%20np.sqrt(_dt)%2C%20_n)%0A%20%20%20%20_log_prices%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_log_returns)%5D)%0A%20%20%20%20_prices%20%3D%20np.exp(_log_prices)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IL%20at%20each%20point%0A%20%20%20%20_il%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_prices)%20%2F%20(_prices%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Cumulative%20fees%20(simplified%3A%20fee%20per%20trade%20*%20avg%20trade%20size%20*%20num%20trades)%0A%20%20%20%20%23%20Each%20trade%20is%20~2%25%20of%20pool%2C%20fee%20accrues%20proportionally%0A%20%20%20%20_avg_alpha%20%3D%200.02%0A%20%20%20%20_fee_per_trade%20%3D%20_fee%20*%20_avg_alpha%20*%20100%20%20%23%20as%20percentage%20of%20pool%0A%20%20%20%20_cum_fees%20%3D%20np.arange(len(_prices))%20*%20_fee_per_trade%0A%0A%20%20%20%20%23%20Net%20P%26L%0A%20%20%20%20_net%20%3D%20_cum_fees%20%2B%20_il%0A%0A%20%20%20%20_days_axis%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_days%2C%20len(_prices))%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Day%22%3A%20np.tile(_days_axis%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_cum_fees%2C%20_il%2C%20_net%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Component%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Fee%20income%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Impermanent%20loss%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Net%20P%26L%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22%2C%20title%3D%22Day%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Cumulative%20P%26L%20(%25%20of%20deposit)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Component%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Fee%20income%22%2C%20%22Impermanent%20loss%22%2C%20%22Net%20P%26L%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23059669%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%232563eb%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22LP%20P%26L%3A%20fees%20vs%20IL%20(%7B_vol*100%3A.0f%7D%25%20vol%2C%20%7B_fee%3A.1%25%7D%20fee)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_zero)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20to%20notice%3A**%0A%20%20%20%20-%20Fee%20income%20grows%20**linearly**%20with%20time%20(more%20trades%20%3D%20more%20fees).%0A%20%20%20%20-%20IL%20follows%20a%20**random%20walk**%20driven%20by%20the%20price%20path%20--%20it%20can%20improve%20or%20worsen.%0A%20%20%20%20-%20High%20vol%20%2B%20low%20fees%20%3D%20LP%20loses%20money.%20Low%20vol%20%2B%20high%20fees%20%3D%20LP%20profits.%0A%20%20%20%20-%20This%20is%20exactly%20the%20short-straddle%20analogy%3A%20the%20option%20seller%20(LP)%20wants%0A%20%20%20%20%20%20low%20realized%20volatility%20relative%20to%20the%20premium%20(fee%20rate)%20they%20collected.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A