LP Profitability: Fees vs Impermanent Loss

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22LP%20Profitability%3A%20Fees%20vs%20Impermanent%20Loss%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20LP%20Profitability%3A%20Do%20Fees%20Beat%20Impermanent%20Loss%3F%0A%0A%20%20%20%20A%20**liquidity%20provider**%20(LP)%20deposits%20tokens%20into%20an%20AMM%20pool%20and%20earns%20a%20cut%20of%0A%20%20%20%20every%20trading%20fee.%20But%20every%20time%20the%20token's%20price%20moves%2C%20the%20LP%20loses%20value%20compared%0A%20%20%20%20to%20simply%20holding%20%E2%80%94%20this%20is%20**impermanent%20loss**%20(IL).%20The%20central%20question%3A%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Do%20the%20fees%20earned%20outweigh%20the%20losses%20from%20price%20movement%3F**%0A%0A%20%20%20%20It%20depends%20on%20two%20things%3A%0A%20%20%20%20-%20**Volume%2FTVL%20ratio**%20%E2%80%94%20how%20much%20trading%20flows%20through%20the%20pool%20relative%20to%20its%20size%0A%20%20%20%20%20%20(more%20trading%20%3D%20more%20fees)%0A%20%20%20%20-%20**Volatility**%20%E2%80%94%20how%20much%20the%20price%20moves%20(more%20movement%20%3D%20more%20IL)%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20break-even%20condition%20and%20lets%20you%20explore%20it%20interactively.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20%5B!info%5D%20Prerequisites%0A%20%20%20%20%3E%20This%20builds%20on%20the%20%5B%5Bconstant-product-amm%7Cconstant-product%20AMM%5D%5D%20invariant%20and%0A%20%20%20%20%3E%20the%20%5B%5Bimpermanent-loss%7CIL%20formula%5D%5D.%20The%20key%20result%20from%20IL%3A%0A%20%20%20%20%3E%20for%20small%20log-price%20moves%2C%20%24%5Ctext%7BIL%7D%20%5Capprox%20-%5Csigma%5E2%2F8%24%20per%20year.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20IL%20Refresher%3A%20The%20Formula%20You%20Need%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20price%20moves%20by%20ratio%20%24r%20%3D%20P_1%20%2F%20P_0%24%20(e.g.%2C%20%24r%20%3D%202%24%20means%20the%20price%20doubled)%2C%0A%20%20%20%20the%20LP's%20loss%20relative%20to%20just%20holding%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BIL%7D(r)%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7Br%7D%7D%7Br%20%2B%201%7D%20-%201%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20always%20%24%5Cleq%200%24%20(the%20pool%20never%20beats%20holding)%20and%20symmetric%20in%20log-price%3A%0A%20%20%20%20a%202x%20increase%20and%20a%202x%20decrease%20give%20the%20same%20~5.7%25%20loss.%0A%0A%20%20%20%20**For%20small%20moves**%2C%20the%20approximation%20that%20drives%20everything%20in%20this%20notebook%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BIL%7D%20%5Capprox%20-%5Cfrac%7B(%5Cln%20r)%5E2%7D%7B8%7D%20%5Capprox%20-%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B8%7D%20%5Ctext%7B%20(annualized)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20loss%20is%20**quadratic**%20in%20price%20movement%20%E2%80%94%20like%20gamma%20exposure%20in%20options.%0A%20%20%20%20Move%20the%20slider%20to%20see%20how%20IL%20grows%20with%20the%20price%20ratio.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20il_ratio%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%205.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Price%20ratio%20r%20%3D%20P1%2FP0%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20il_ratio%0A%20%20%20%20return%20(il_ratio%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20il_ratio%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_rs%20%3D%20np.linspace(0.05%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_il_exact%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_rs)%20%2F%20(_rs%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%20%20%20%20_il_approx%20%3D%20-(np.log(_rs)%20**%202)%20%2F%208%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20r%22%3A%20np.tile(_rs%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22IL%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_il_exact%2C%20_il_approx%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20%5B%22Exact%22%5D%20*%20len(_rs)%20%2B%20%5B%22Approx%20(-ln(r)%5E2%2F8)%22%5D%20*%20len(_rs)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_r_val%20%3D%20il_ratio.value%0A%20%20%20%20_il_val%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_r_val)%20%2F%20(_r_val%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_marker%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20r%22%3A%20%5B_r_val%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22IL%20(%25)%22%3A%20%5B_il_val%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5Bf%22r%20%3D%20%7B_r_val%3A.2f%7D%2C%20IL%20%3D%20%7B_il_val%3A.2f%7D%25%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_lines%20%3D%20alt.Chart(_curve_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20ratio%20r%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%205%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22IL%20(%25)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Exact%22%2C%20%22Approx%20(-ln(r)%5E2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23dc2626%22%2C%20%22%239ca3af%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Exact%22%2C%20%22Approx%20(-ln(r)%5E2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_dot%20%3D%20alt.Chart(_marker).mark_circle(size%3D120%2C%20color%3D%22%232563eb%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Price%20ratio%20r%3AQ%22%2C%20y%3D%22IL%20(%25)%3AQ%22%2C%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20(_lines%20%2B%20_dot%20%2B%20_zero).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D280%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Impermanent%20Loss%3A%20exact%20vs%20quadratic%20approximation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_gamma%2C%20_Vd%2C%20_L%20%3D%20sp.symbols(%22gamma%20V_d%20L%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_fee_apr%20%3D%20365%20*%20_gamma%20*%20_Vd%20%2F%20_L%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Fee%20Income%0A%0A%20%20%20%20Each%20swap%20pays%20a%20fee%20%24%5C%5Cgamma%24%20(e.g.%2C%200.30%25%20for%20Uniswap%20V2%2C%200.25%25%20for%20PumpSwap).%0A%20%20%20%20The%20LP's%20annualized%20fee%20yield%20depends%20on%20the%20**volume-to-liquidity%20ratio**%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20how%20much%20trading%20flows%20through%20relative%20to%20the%20pool's%20size%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BFee%20APR%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_fee_apr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24V_d%24%20is%20daily%20trading%20volume%20and%20%24L%24%20is%20pool%20TVL%20(total%20value%20locked%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20the%20total%20amount%20of%20tokens%20deposited%20by%20all%20LPs).%0A%0A%20%20%20%20The%20LP's%20ownership%20share%20%24w%24%20cancels%20out%3A%20if%20you%20own%201%25%20of%20the%20pool%2C%20you%20get%201%25%0A%20%20%20%20of%20the%20fees%20on%201%25%20of%20the%20capital.%20What%20matters%20is%20turnover%2C%20not%20position%20size.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_gamma%2C%20_Vd%2C%20_L%2C%20_sigma%20%3D%20sp.symbols(%22gamma%20V_d%20L%20sigma%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_fee_apr%20%3D%20365%20*%20_gamma%20*%20_Vd%20%2F%20_L%0A%20%20%20%20_il_annual%20%3D%20_sigma**2%20%2F%208%0A%0A%20%20%20%20_sigma_be%20%3D%20sp.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_Vd%20%2F%20_L)%0A%20%20%20%20_Vd_min%20%3D%20_sigma**2%20*%20_L%20%2F%20(8%20*%20365%20*%20_gamma)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20The%20Break-Even%20Condition%0A%0A%20%20%20%20The%20LP%20breaks%20even%20when%20fee%20income%20equals%20IL%20cost%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7BFee%20APR%7D%7D%20%3D%20%5C%5Ctext%7B%7BIL%20per%20year%7D%7D%20%5C%5Cimplies%20%7Bsp.latex(_fee_apr)%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_il_annual)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solving%20for%20the%20**maximum%20tolerable%20volatility**%20(the%20highest%20vol%20where%20LPs%20still%20break%20even)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Cboxed%7B%7B%5C%5Csigma_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bbreak-even%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_sigma_be)%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Or%20equivalently%2C%20the%20**minimum%20daily%20volume**%20needed%20to%20offset%20a%20given%20volatility%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Cboxed%7B%7BV_%7B%7Bd%2C%5C%5Ctext%7B%7Bmin%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_Vd_min)%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20square%20root%20matters%3A%20doubling%20the%20fee%20rate%20only%20increases%20tolerable%20vol%20by%0A%20%20%20%20%24%5C%5Csqrt%7B%7B2%7D%7D%20%5C%5Capprox%2041%5C%5C%25%24.%20Volatility%20is%20the%20dominant%20force%20%E2%80%94%20it%20enters%20quadratically%0A%20%20%20%20in%20IL%20but%20fees%20grow%20only%20linearly%20with%20volume.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Break-Even%20Calculator%0A%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20pool%20parameters%20to%20see%20where%20the%20break-even%20volatility%20lands.%0A%20%20%20%20The%20chart%20shows%20the%20break-even%20frontier%3A%20pools%20**above**%20the%20line%20are%0A%20%20%20%20unprofitable%20(IL%20%3E%20fees)%3B%20pools%20**below**%20are%20profitable.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20fee_pct%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%203.0%2C%20value%3D0.30%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20daily_vol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%2050.0%2C%20value%3D10.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Daily%20volume%20(%24M)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tvl%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%20200.0%2C%20value%3D50.0%2C%20step%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Pool%20TVL%20(%24M)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bfee_pct%2C%20daily_vol%2C%20tvl%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20daily_vol%2C%20fee_pct%2C%20tvl%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(daily_vol%2C%20fee_pct%2C%20mo%2C%20np%2C%20tvl)%3A%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20fee_pct.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_vd%20%3D%20daily_vol.value%0A%20%20%20%20_l%20%3D%20tvl.value%0A%0A%20%20%20%20_fee_apr%20%3D%20365%20*%20_gamma%20*%20_vd%20%2F%20_l%20*%20100%0A%20%20%20%20_sigma_be%20%3D%20np.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_vd%20%2F%20_l)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**With%20your%20parameters%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Metric%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Fee%20rate%20(%24%5C%5Cgamma%24)%20%7C%20%7Bfee_pct.value%3A.2f%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Daily%20volume%20%7C%20%5C%5C%24%7B_vd%3A.1f%7DM%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Pool%20TVL%20%7C%20%5C%5C%24%7B_l%3A.1f%7DM%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Volume%20%2F%20TVL%20(daily%20turnover)%20%7C%20%7B_vd%2F_l%3A.2%25%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Fee%20APR**%20%7C%20**%7B_fee_apr%3A.1f%7D%25**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Break-even%20volatility**%20%7C%20**%7B_sigma_be%3A.1f%7D%25**%20annualized%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%7B%22This%20pool%20can%20tolerate%20typical%20crypto%20volatility%20(60-100%25).%20**Likely%20profitable.**%22%20if%20_sigma_be%20%3E%2060%0A%20%20%20%20%20else%20%22This%20pool%20cannot%20tolerate%20typical%20crypto%20vol.%20**Likely%20unprofitable**%20unless%20the%20token%20is%20very%20stable.%22%20if%20_sigma_be%20%3E%2020%0A%20%20%20%20%20else%20%22Break-even%20vol%20is%20extremely%20low.%20**Almost%20certainly%20unprofitable**%20for%20any%20crypto%20pair.%22%7D%0A%0A%20%20%20%20*For%20reference%3A%20ETH%2FUSDC%20realized%20vol%20is%20typically%2060-100%25.%20Stablecoin%20pairs%3A%201-5%25.%0A%20%20%20%20Memecoins%3A%20200-500%25%2B.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20daily_vol%2C%20fee_pct%2C%20np%2C%20pd%2C%20tvl)%3A%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20fee_pct.value%20%2F%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Break-even%20frontier%3A%20sigma_be%20as%20function%20of%20Vd%2FL%0A%20%20%20%20_turnover%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%201.0%2C%20300)%20%20%23%20daily%20Vd%2FL%20ratio%0A%20%20%20%20_sigma_be%20%3D%20np.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_turnover)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_frontier_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Daily%20turnover%20(Vd%2FL)%22%3A%20_turnover%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Break-even%20volatility%20(%25)%22%3A%20_sigma_be%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_frontier%20%3D%20alt.Chart(_frontier_df).mark_area(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22color%22%3A%20%22%23059669%22%2C%20%22strokeWidth%22%3A%202%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Gradient(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gradient%3D%22linear%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stops%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.GradientStop(color%3D%22%23dcfce7%22%2C%20offset%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.GradientStop(color%3D%22%23059669%22%2C%20offset%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3D1%2C%20x2%3D1%2C%20y1%3D1%2C%20y2%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.3%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Daily%20turnover%20(Vd%2FL)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Daily%20turnover%20(Volume%20%2F%20TVL)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Break-even%20volatility%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Annualized%20volatility%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20%22profitable%22%20%2F%20%22unprofitable%22%20label%20zones%0A%20%20%20%20_label_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B0.5%2C%200.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20%5B30%2C%20120%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5B%22PROFITABLE%20(fees%20%3E%20IL)%22%2C%20%22UNPROFITABLE%20(IL%20%3E%20fees)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20alt.Chart(_label_df).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontSize%3D14%2C%20fontWeight%3D%22bold%22%2C%20opacity%3D0.4%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22label%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.value(%22%23059669%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_label_upper%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B0.5%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5B120%5D%2C%20%22label%22%3A%20%5B%22UNPROFITABLE%20(IL%20%3E%20fees)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontSize%3D14%2C%20fontWeight%3D%22bold%22%2C%20opacity%3D0.4%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22label%3AN%22%2C%20color%3Dalt.value(%22%23dc2626%22))%0A%0A%20%20%20%20_label_lower%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B0.5%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5B30%5D%2C%20%22label%22%3A%20%5B%22PROFITABLE%20(fees%20%3E%20IL)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontSize%3D14%2C%20fontWeight%3D%22bold%22%2C%20opacity%3D0.4%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22label%3AN%22%2C%20color%3Dalt.value(%22%23059669%22))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20current%20pool%0A%20%20%20%20_cur_turnover%20%3D%20daily_vol.value%20%2F%20tvl.value%0A%20%20%20%20_cur_sigma_be%20%3D%20np.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_cur_turnover)%20*%20100%0A%20%20%20%20_cur_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Daily%20turnover%20(Vd%2FL)%22%3A%20%5B_cur_turnover%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Break-even%20volatility%20(%25)%22%3A%20%5B_cur_sigma_be%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5Bf%22Your%20pool%3A%20turnover%3D%7B_cur_turnover%3A.2%25%7D%2C%20%CF%83_be%3D%7B_cur_sigma_be%3A.0f%7D%25%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_cur_dot%20%3D%20alt.Chart(_cur_df).mark_circle(size%3D150%2C%20color%3D%22%232563eb%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Daily%20turnover%20(Vd%2FL)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Break-even%20volatility%20(%25)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20(_frontier%20%2B%20_label_lower%20%2B%20_label_upper%20%2B%20_cur_dot).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Break-even%20frontier%20(fee%20%3D%20%7Bfee_pct.value%3A.2f%7D%25)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Profitability%20Heatmap%0A%0A%20%20%20%20The%20heatmap%20below%20shows%20**net%20LP%20return**%20(fees%20minus%20IL)%20across%20combinations%20of%0A%20%20%20%20volatility%20and%20turnover.%20Green%20%3D%20profitable%2C%20red%20%3D%20unprofitable.%20The%20white%20contour%0A%20%20%20%20is%20the%20break-even%20line.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20heatmap_fee%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%203.0%2C%20value%3D0.30%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%20(%25)%20for%20heatmap%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20heatmap_fee%0A%20%20%20%20return%20(heatmap_fee%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20heatmap_fee%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20heatmap_fee.value%20%2F%20100%0A%0A%20%20%20%20_vols%20%3D%20np.linspace(5%2C%20300%2C%2060)%20%20%20%20%20%20%20%23%20annualized%20vol%20(%25)%0A%20%20%20%20_turnovers%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%201.0%2C%2060)%20%20%23%20daily%20Vd%2FL%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_v%20in%20_vols%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_t%20in%20_turnovers%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fee_apr%20%3D%20365%20*%20_gamma%20*%20_t%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_il_annual%20%3D%20(_v%20%2F%20100)%20**%202%20%2F%208%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_net%20%3D%20_fee_apr%20-%20_il_annual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Volatility%20(%25)%22%3A%20round(_v%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Daily%20turnover%22%3A%20round(_t%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Net%20LP%20return%20(%25)%22%3A%20round(_net%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%0A%20%20%20%20_heatmap%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_rect().encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Daily%20turnover%3AQ%22%2C%20title%3D%22Daily%20turnover%20(Volume%20%2F%20TVL)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D60))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Volatility%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Annualized%20volatility%20(%25)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D60)%2C%20sort%3D%22descending%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Net%20LP%20return%20(%25)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B-50%2C%200%2C%2050%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23dc2626%22%2C%20%22%23fef9c3%22%2C%20%22%23059669%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3Dalt.Legend(title%3D%22Net%20return%20(%25)%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Volatility%20(%25)%3AQ%22%2C%20format%3D%22.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Daily%20turnover%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1%25%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Net%20LP%20return%20(%25)%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Net%20LP%20return%3A%20fees%20-%20IL%20(fee%20%3D%20%7Bheatmap_fee.value%3A.2f%7D%25)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_heatmap%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20to%20notice%3A**%0A%20%20%20%20-%20The%20green%20zone%20(profitable)%20occupies%20the%20**bottom-right**%3A%20low%20volatility%2C%20high%20turnover.%0A%20%20%20%20-%20The%20red%20zone%20(unprofitable)%20occupies%20the%20**top-left**%3A%20high%20volatility%2C%20low%20turnover.%0A%20%20%20%20-%20Stablecoin%20pairs%20(vol%20~2%25%2C%20turnover%20~20%25)%20are%20deep%20green.%20Memecoins%20(vol%20~300%25%2C%0A%20%20%20%20%20%20turnover%20~5%25)%20are%20deep%20red.%0A%20%20%20%20-%20The%20diagonal%20boundary%20is%20the%20break-even%20frontier%20from%20Section%204.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20The%20Race%3A%20Fees%20vs%20IL%20Over%20Time%0A%0A%20%20%20%20This%20simulation%20runs%20a%20random%20price%20path%20(geometric%20Brownian%20motion%20%E2%80%94%20a%20standard%0A%20%20%20%20model%20where%20log-returns%20are%20normally%20distributed)%20and%20tracks%20cumulative%20fees%20and%0A%20%20%20%20IL%20day%20by%20day.%20Fees%20grow%20steadily%3B%20IL%20follows%20the%20price's%20random%20walk.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20crank%20up%20volatility%20to%20watch%20IL%20overwhelm%20fees.%0A%20%20%20%20Lower%20it%20to%20see%20fees%20win.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_vol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20300%2C%20value%3D80%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Annualized%20volatility%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_fee%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%203.0%2C%20value%3D0.30%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fee%20rate%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_turnover%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.01%2C%200.5%2C%20value%3D0.10%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Daily%20turnover%20(Vd%2FL)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_days%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2030%2C%20365%2C%20value%3D180%2C%20step%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20days%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_vol%2C%20sim_fee%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_turnover%2C%20sim_days%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20sim_days%2C%20sim_fee%2C%20sim_turnover%2C%20sim_vol%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20sim_days%2C%20sim_fee%2C%20sim_turnover%2C%20sim_vol)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_vol%20%3D%20sim_vol.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20sim_fee.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_turnover%20%3D%20sim_turnover.value%0A%20%20%20%20_days%20%3D%20sim_days.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Daily%20price%20path%20(GBM)%0A%20%20%20%20_daily_vol%20%3D%20_vol%20%2F%20np.sqrt(365)%0A%20%20%20%20_log_returns%20%3D%20_rng.normal(-0.5%20*%20_daily_vol**2%2C%20_daily_vol%2C%20_days)%0A%20%20%20%20_log_prices%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_log_returns)%5D)%0A%20%20%20%20_prices%20%3D%20np.exp(_log_prices)%20%20%23%20price%20ratio%20r(t)%20%3D%20P(t)%2FP(0)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IL%20at%20each%20day%20(exact%20formula)%0A%20%20%20%20_il%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_prices)%20%2F%20(_prices%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Cumulative%20fees%20(daily%20fee%20yield%20%3D%20gamma%20*%20turnover)%0A%20%20%20%20_daily_fee%20%3D%20_gamma%20*%20_turnover%20*%20100%20%20%23%20as%20%25%20of%20pool%0A%20%20%20%20_cum_fees%20%3D%20np.arange(len(_prices))%20*%20_daily_fee%0A%0A%20%20%20%20%23%20Net%20P%26L%0A%20%20%20%20_net%20%3D%20_cum_fees%20%2B%20_il%20%20%23%20IL%20is%20negative%2C%20so%20this%20is%20fees%20-%20%7CIL%7C%0A%0A%20%20%20%20_day_axis%20%3D%20np.arange(len(_prices))%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Day%22%3A%20np.tile(_day_axis%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_cum_fees%2C%20_il%2C%20_net%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Component%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Fee%20income%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Impermanent%20loss%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Net%20P%26L%22%5D%20*%20len(_prices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_lines%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Cumulative%20P%26L%20(%25%20of%20deposit)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Component%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Fee%20income%22%2C%20%22Impermanent%20loss%22%2C%20%22Net%20P%26L%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23059669%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%232563eb%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20(_lines%20%2B%20_zero).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22LP%20P%26L%20simulation%3A%20%7Bsim_vol.value%7D%25%20vol%2C%20%7Bsim_fee.value%3A.2f%7D%25%20fee%2C%20%7Bsim_turnover.value%3A.0%25%7D%20turnover%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20sim_fee%2C%20sim_turnover%2C%20sim_vol)%3A%0A%20%20%20%20_vol%20%3D%20sim_vol.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20sim_fee.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_turnover%20%3D%20sim_turnover.value%0A%20%20%20%20_sigma_be%20%3D%20np.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_turnover)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Analysis%20for%20this%20simulation%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Metric%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Break-even%20volatility%20%7C%20%7B_sigma_be%3A.0f%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Your%20volatility%20%7C%20%7Bsim_vol.value%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Verdict%20%7C%20%7B%22**Fees%20should%20win**%20(vol%20%3C%20break-even)%22%20if%20sim_vol.value%20%3C%20_sigma_be%20else%20%22**IL%20should%20win**%20(vol%20%3E%20break-even)%22%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20break-even%20formula%20predicts%20the%20outcome%3A%20when%20your%20pool's%20volatility%20is%20below%0A%20%20%20%20%24%5C%5Csigma_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bbe%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_sigma_be%3A.0f%7D%5C%5C%25%24%2C%20fees%20accumulate%20faster%20than%20IL.%0A%20%20%20%20Above%20it%2C%20IL%20dominates.%20The%20simulation%20confirms%20this%20%E2%80%94%20try%20crossing%20the%20threshold%0A%20%20%20%20to%20see%20the%20Net%20P%26L%20line%20flip%20from%20green%20to%20red.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Real-world-ish%20pool%20examples%0A%20%20%20%20_pools%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Pool%22%3A%20%22USDC%2FUSDT%22%2C%20%22Fee%20(%25)%22%3A%200.01%2C%20%22Turnover%22%3A%200.30%2C%20%22Vol%20(%25)%22%3A%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Type%22%3A%20%22Stablecoin%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Pool%22%3A%20%22ETH%2FUSDC%22%2C%20%22Fee%20(%25)%22%3A%200.30%2C%20%22Turnover%22%3A%200.15%2C%20%22Vol%20(%25)%22%3A%2080%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Type%22%3A%20%22Blue-chip%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Pool%22%3A%20%22ETH%2FUSDC%20(V3%20concentrated)%22%2C%20%22Fee%20(%25)%22%3A%200.05%2C%20%22Turnover%22%3A%200.40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Vol%20(%25)%22%3A%2080%2C%20%22Type%22%3A%20%22Blue-chip%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Pool%22%3A%20%22PEPE%2FSOL%22%2C%20%22Fee%20(%25)%22%3A%201.00%2C%20%22Turnover%22%3A%200.05%2C%20%22Vol%20(%25)%22%3A%20300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Type%22%3A%20%22Memecoin%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Pool%22%3A%20%22New%20memecoin%22%2C%20%22Fee%20(%25)%22%3A%201.00%2C%20%22Turnover%22%3A%200.02%2C%20%22Vol%20(%25)%22%3A%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Type%22%3A%20%22Memecoin%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_p%20in%20_pools%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gamma%20%3D%20_p%5B%22Fee%20(%25)%22%5D%20%2F%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%3D%20_p%5B%22Turnover%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_v%20%3D%20_p%5B%22Vol%20(%25)%22%5D%20%2F%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fee_apr%20%3D%20365%20*%20_gamma%20*%20_t%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_il_annual%20%3D%20_v**2%20%2F%208%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_net%20%3D%20_fee_apr%20-%20_il_annual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sigma_be%20%3D%20np.sqrt(8%20*%20365%20*%20_gamma%20*%20_t)%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pool%22%3A%20_p%5B%22Pool%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Type%22%3A%20_p%5B%22Type%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fee%22%3A%20f%22%7B_p%5B'Fee%20(%25)'%5D%3A.2f%7D%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Turnover%22%3A%20f%22%7B_t%3A.0%25%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Vol%22%3A%20f%22%7B_p%5B'Vol%20(%25)'%5D%3A.0f%7D%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fee%20APR%22%3A%20round(_fee_apr%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22IL%2Fyr%22%3A%20round(_il_annual%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Net%20return%20(%25)%22%3A%20round(_net%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CF%83_be%22%3A%20f%22%7B_sigma_be%3A.0f%7D%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Profitable%22%3A%20%22Yes%22%20if%20_net%20%3E%200%20else%20%22No%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_bar(cornerRadiusTopLeft%3D4%2C%20cornerRadiusTopRight%3D4).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Pool%3AN%22%2C%20sort%3DNone%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D-30))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Net%20return%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Net%20annual%20return%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.condition(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.datum%5B%22Net%20return%20(%25)%22%5D%20%3E%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.value(%22%23059669%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.value(%22%23dc2626%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pool%3AN%22%2C%20%22Fee%3AN%22%2C%20%22Turnover%3AN%22%2C%20%22Vol%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Fee%20APR%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22IL%2Fyr%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Net%20return%20(%25)%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CF%83_be%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23374151%22%2C%20strokeWidth%3D1%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_zero).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Net%20LP%20return%20by%20pool%20type%20(approximate)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20The%20Profitability%20Quadrant%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%20%7C%20**High%20turnover**%20%7C%20**Low%20turnover**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Low%20volatility**%20%7C%20Very%20profitable%20(stablecoins)%20%7C%20Marginally%20profitable%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**High%20volatility**%20%7C%20Depends%20on%20ratio%20(blue-chip)%20%7C%20Unprofitable%20(memecoins)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20best%20LP%20positions%3A%20**high-turnover%2C%20low-volatility**%20pools%20(USDC%2FUSDT).%0A%0A%20%20%20%20The%20worst%3A%20**low-turnover%2C%20high-volatility**%20pools%20(long-tail%20memecoins%20with%20thin%0A%20%20%20%20liquidity%20and%20violent%20price%20swings).%20These%20are%20exactly%20the%20tokens%20that%20attract%0A%20%20%20%20retail%20LPs%20with%20headline%20APR%20numbers%20computed%20from%20a%20single%20day's%20volume.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Market-Maker%20Analogy%0A%0A%20%20%20%20%7C%20TradFi%20market%20maker%20%7C%20AMM%20liquidity%20provider%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Earns%20the%20bid-ask%20spread%20%7C%20Earns%20swap%20fees%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Loses%20to%20informed%20flow%20(adverse%20selection)%20%7C%20Loses%20to%20arbitrageurs%20(IL)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Widens%20spreads%20in%20volatile%20markets%20%7C%20Fee%20tier%20selection%3B%20LP%20withdrawal%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Can%20choose**%20which%20orders%20to%20fill%20%7C%20**Cannot%20discriminate**%20%E2%80%94%20pricing%20is%20fixed%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20key%20difference%3A%20a%20TradFi%20market%20maker%20dynamically%20adjusts%20quotes.%20An%20AMM%20LP%20is%0A%20%20%20%20passive%20%E2%80%94%20the%20pricing%20function%20is%20fixed%2C%20and%20the%20LP%20cannot%20tell%20informed%20from%0A%20%20%20%20uninformed%20flow.%20This%20structural%20disadvantage%20is%20why%20IL%20is%20such%20a%20persistent%20drag.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%208.%20The%20Short%20Straddle%20Analogy%20%E2%80%94%20Visualized%0A%0A%20%20%20%20The%20market-maker%20analogy%20table%20above%20hints%20at%20something%20deeper%3A%20an%20LP%20position%0A%20%20%20%20is%20economically%20similar%20to%20a%20**short%20straddle**%20in%20options.%20Here%20we%20overlay%0A%20%20%20%20the%20two%20curves%20to%20see%20how%20close%20the%20match%20really%20is.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Red%20solid%3A**%20Impermanent%20loss%20as%20a%20function%20of%20price%20ratio%20%24r%20%3D%20P_1%2FP_0%24%0A%20%20%20%20-%20**Blue%20dashed%3A**%20Short%20straddle%20P%26L%20(normalized%20to%20match%20IL%20at%20%24r%20%3D%202%24)%0A%20%20%20%20-%20**Gray%20dotted%3A**%20Quadratic%20approximation%20%24-(%5Cln%20r)%5E2%20%2F%208%24%20%E2%80%94%20the%20shared%0A%20%20%20%20%20%20gamma%20term%0A%0A%20%20%20%20Near%20the%20deposit%20price%20(%24r%20%3D%201%24)%2C%20all%20three%20curves%20overlap.%20The%20LP%20*is*%20a%0A%20%20%20%20short%20straddle%20for%20moderate%20price%20moves.%20They%20diverge%20in%20the%20tails%3A%20the%0A%20%20%20%20straddle%20loses%20linearly%20forever%2C%20while%20IL%20flattens%20toward%20%24-100%5C%25%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_rs%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20np.log(_rs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IL%20(exact)%0A%20%20%20%20_il%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(_rs)%20%2F%20(_rs%20%2B%201)%20-%201)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Short%20straddle%20P%26L%20(normalized)%3A%20scale%20-%7Cr%20-%201%7C%20to%20match%20IL%20at%20r%3D2%0A%20%20%20%20_il_at_2%20%3D%20(2%20*%20np.sqrt(2)%20%2F%203%20-%201)%20*%20100%20%20%23%20-5.72%25%0A%20%20%20%20_straddle_raw%20%3D%20-np.abs(_rs%20-%201)%0A%20%20%20%20_scale_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(_rs%20-%202.0))%0A%20%20%20%20_straddle_scale%20%3D%20_il_at_2%20%2F%20_straddle_raw%5B_scale_idx%5D%20if%20_straddle_raw%5B_scale_idx%5D%20!%3D%200%20else%201%0A%20%20%20%20_straddle%20%3D%20_straddle_raw%20*%20_straddle_scale%0A%0A%20%20%20%20%23%20Quadratic%20approximation%0A%20%20%20%20_quadratic%20%3D%20-(_s%20**%202)%20%2F%208%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%22%3A%20np.tile(_rs%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22P%26L%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_il%2C%20_straddle%2C%20_quadratic%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22IL%20(actual)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Short%20straddle%20(scaled)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Quadratic%20approx%20(%E2%88%92s%C2%B2%2F8)%22%5D%20*%20len(_rs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20ratio%20(r%20%3D%20P1%2FP0)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0.1%2C%205%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22P%26L%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22P%26L%20%2F%20IL%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22IL%20(actual)%22%2C%20%22Short%20straddle%20(scaled)%22%2C%20%22Quadratic%20approx%20(%E2%88%92s%C2%B2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23dc2626%22%2C%20%22%232563eb%22%2C%20%22%239ca3af%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22IL%20(actual)%22%2C%20%22Short%20straddle%20(scaled)%22%2C%20%22Quadratic%20approx%20(%E2%88%92s%C2%B2%2F8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%2C%20%5B2%2C%202%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d1d5db%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_one_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5B1.0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d1d5db%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_zero%20%2B%20_one_line).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Impermanent%20Loss%20vs%20Short%20Straddle%20vs%20Quadratic%20Approximation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20analogy%20at%20a%20glance%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20Short%20straddle%20%7C%20LP%20position%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Collect**%20%7C%20Option%20premiums%20%7C%20Trading%20fees%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Lose%20to**%20%7C%20%24%5C%7CS_T%20-%20K%5C%7C%24%20%7C%20Impermanent%20loss%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Loss%20shape**%20%7C%20Linear%20in%20tails%20%7C%20Bounded%20(flattens%20at%20%E2%88%92100%25)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Near%20the%20center**%20%7C%20Both%20%E2%89%88%20%24-(%5CDelta%20S)%5E2%24%20%E2%80%94%20**quadratic**%20%7C%20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Greek**%20%7C%20Short%20gamma%20(%24%5CGamma%20%3C%200%24)%20%7C%20Short%20gamma%20(IL%20%E2%89%88%20%24-s%5E2%2F8%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Wins%20when**%20%7C%20Realized%20vol%20%3C%20implied%20vol%20%7C%20Realized%20vol%20%3C%20break-even%20vol%20from%20fees%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Where%20the%20analogy%20breaks%20down%3A**%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20**tails**%2C%20the%20straddle%20loss%20grows%20linearly%20(call%20or%20put%20pays%20out%20dollar-for-dollar)%2C%0A%20%20%20%20%20%20but%20IL%20flattens%20%E2%80%94%20you%20can't%20lose%20more%20than%20100%25%20of%20your%20deposit.%0A%20%20%20%20-%20A%20straddle%20has%20a%20fixed%20**expiry**.%20An%20LP%20position%20has%20no%20expiry%20%E2%80%94%20you%20choose%20when%20to%20exit.%0A%20%20%20%20-%20Straddle%20premiums%20are%20set%20at%20trade%20time.%20LP%20fees%20**accumulate**%20continuously.%0A%0A%20%20%20%20Despite%20these%20differences%2C%20the%20core%20insight%20holds%3A%20**providing%20liquidity%20is%20economically%0A%20%20%20%20equivalent%20to%20selling%20volatility%20insurance.**%20You%20collect%20a%20premium%20(fees)%20and%20pray%20the%0A%20%20%20%20price%20doesn't%20move%20too%20much.%20For%20the%20formal%20treatment%2C%20see%20%5B%5Blp-as-short-vol%5D%5D.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20Greeks%20(%24%5CDelta%24%2C%20%24%5CGamma%24)%20and%20how%20they%20connect%20to%20option%20pricing%2C%20see%20the%0A%20%20%20%20%5B%5Bthe-greeks%5D%5D%20note%20and%20the%20%5BOptions%20Payoffs%20notebook%5D(..%2Foptions-payoffs%2Fnotebook%2F).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A