DEX Design Constraints

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22DEX%20Design%20Constraints%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20DEX%20Design%20Constraints%20%E2%80%94%20Interactive%20Explorer%0A%0A%20%20%20%20Blockchains%20cannot%20run%20order%20books.%20This%20notebook%20lets%20you%20see%20**why**%20%E2%80%94%20and%0A%20%20%20%20explore%20the%20AMM%20invariants%20that%20replaced%20them.%0A%0A%20%20%20%20Companion%20note%3A%20%5B%5Bdex-design-constraints%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%20%20%20%201.%20**Invariant%20Curve%20Explorer**%20%E2%80%94%20compare%20constant-product%2C%20constant-sum%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20StableSwap%20curves%20side%20by%20side%0A%20%20%20%202.%20**Throughput%20Comparison**%20%E2%80%94%20visualize%20the%20gap%20between%20exchange%20message%0A%20%20%20%20%20%20%20rates%20and%20blockchain%20TPS%0A%20%20%20%203.%20**Price%20Impact%20Comparison**%20%E2%80%94%20see%20how%20trade%20size%20affects%20execution%20price%0A%20%20%20%20%20%20%20on%20a%20constant-product%20AMM%20vs.%20a%20uniform%20order%20book%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Invariant%20Curve%20Explorer%0A%0A%20%20%20%20An%20AMM%20replaces%20the%20order%20book%20with%20a%20**conservation%20function**%20(invariant)%0A%20%20%20%20%24%5Cvarphi(x%2C%20y)%20%3D%20k%24.%20The%20shape%20of%20this%20curve%20determines%20how%20the%20exchange%0A%20%20%20%20rate%20changes%20as%20reserves%20shift.%0A%0A%20%20%20%20Three%20families%20are%20plotted%20below%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Constant%20product**%20(%24xy%20%3D%20k%24)%3A%20a%20hyperbola.%20Price%20impact%20grows%20with%0A%20%20%20%20%20%20trade%20size%20%E2%80%94%20large%20trades%20move%20the%20price%20significantly.%0A%20%20%20%20-%20**Constant%20sum**%20(%24x%20%2B%20y%20%3D%20k%24)%3A%20a%20straight%20line.%20Zero%20price%20impact%2C%20but%0A%20%20%20%20%20%20the%20pool%20can%20be%20fully%20drained%20of%20one%20asset%20(unstable).%0A%20%20%20%20-%20**StableSwap**%20(%24x%5E3%20y%20%2B%20x%20y%5E3%20%3D%20k%24)%3A%20a%20flattened%20hyperbola%20that%0A%20%20%20%20%20%20behaves%20like%20constant-sum%20near%20the%20center%20(low%20slippage%20for%20balanced%0A%20%20%20%20%20%20trades)%20but%20bends%20toward%20constant-product%20at%20the%20edges%20(prevents%0A%20%20%20%20%20%20drainage).%20Used%20by%20Curve%20Finance%20for%20stablecoin%20pairs.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20adjust%20%24k%24%20and%20the%20initial%20%24x%24%20reserve%2C%20then%20drag%20the%20trade%0A%20%20%20%20size%20slider%20to%20watch%20the%20reserve%20point%20move%20along%20each%20curve.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20k_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201000%2C%2050000%2C%20value%3D10000%2C%20step%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22k%20(invariant%20constant)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x_init_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20300%2C%20value%3D100%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20x%20reserve%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20trade_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%20150%2C%20value%3D0%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Trade%20size%20(sell%20x%20into%20pool)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bk_slider%2C%20x_init_slider%2C%20trade_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20k_slider%2C%20trade_slider%2C%20x_init_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20k_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20trade_slider%2C%20x_init_slider)%3A%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20float(k_slider.value)%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20float(x_init_slider.value)%0A%20%20%20%20_dx%20%3D%20float(trade_slider.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20x%20range%20for%20plotting%0A%20%20%20%20_x_min%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_x_max%20%3D%20400.0%0A%20%20%20%20_xs%20%3D%20np.linspace(_x_min%2C%20_x_max%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Constant%20product%3A%20xy%20%3D%20k%20%20%3D%3E%20%20y%20%3D%20k%2Fx%20---%0A%20%20%20%20_y_cp%20%3D%20_k%20%2F%20_xs%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Constant%20sum%3A%20x%20%2B%20y%20%3D%20k%20%20%3D%3E%20%20y%20%3D%20k%20-%20x%20---%0A%20%20%20%20%23%20Scale%20so%20the%20line%20passes%20through%20roughly%20the%20same%20region%0A%20%20%20%20%23%20Use%20k_sum%20%3D%20x0%20%2B%20k%2Fx0%20(matching%20the%20CP%20point%20at%20x0)%0A%20%20%20%20_k_sum%20%3D%20_x0%20%2B%20_k%20%2F%20_x0%0A%20%20%20%20_y_cs%20%3D%20_k_sum%20-%20_xs%0A%20%20%20%20_y_cs%20%3D%20np.where(_y_cs%20%3E%200%2C%20_y_cs%2C%20np.nan)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20StableSwap-like%3A%20x%5E3*y%20%2B%20x*y%5E3%20%3D%20k_ss%20---%0A%20%20%20%20%23%20Calibrate%20k_ss%20so%20the%20curve%20passes%20through%20the%20CP%20point%20at%20x0%0A%20%20%20%20_y0_cp%20%3D%20_k%20%2F%20_x0%0A%20%20%20%20_k_ss%20%3D%20_x0**3%20*%20_y0_cp%20%2B%20_x0%20*%20_y0_cp**3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Solve%20y%20for%20each%20x%20numerically%20(Newton's%20method)%0A%20%20%20%20_y_ss%20%3D%20np.full_like(_xs%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_xv%20in%20enumerate(_xs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20f(y)%20%3D%20xv%5E3%20*%20y%20%2B%20xv%20*%20y%5E3%20-%20k_ss%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20f'(y)%20%3D%20xv%5E3%20%2B%203*xv*y%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_guess%20%3D%20_k%20%2F%20_xv%20%20%23%20start%20from%20CP%20solution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(50)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fv%20%3D%20_xv**3%20*%20_y_guess%20%2B%20_xv%20*%20_y_guess**3%20-%20_k_ss%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fpv%20%3D%20_xv**3%20%2B%203%20*%20_xv%20*%20_y_guess**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_fpv)%20%3C%201e-15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_new%20%3D%20_y_guess%20-%20_fv%20%2F%20_fpv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_y_new%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_new%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_y_new%20-%20_y_guess)%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_guess%20%3D%20_y_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_guess%20%3D%20_y_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_y_guess%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ss%5B_i%5D%20%3D%20_y_guess%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20dataframe%0A%20%20%20%20_dfs%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_ys%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Constant%20product%20(xy%3Dk)%22%2C%20_y_cp)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Constant%20sum%20(x%2By%3Dk)%22%2C%20_y_cs)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22StableSwap%20(x%5Cu00b3y%2Bxy%5Cu00b3%3Dk)%22%2C%20_y_ss)%2C%0A%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20np.isfinite(_ys)%20%26%20(_ys%20%3E%200)%20%26%20(_ys%20%3C%20600)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dfs.append(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%20reserve%22%3A%20_xs%5B_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%20reserve%22%3A%20_ys%5B_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Invariant%22%3A%20_name%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D))%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.concat(_dfs%2C%20ignore_index%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_curves_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%20reserve%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%20_x_max%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22y%20reserve%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%20600%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Invariant%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Constant%20product%20(xy%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Constant%20sum%20(x%2By%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22StableSwap%20(x%5Cu00b3y%2Bxy%5Cu00b3%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%23059669%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20reserve%20points%20(one%20per%20curve%20at%20x%20%3D%20x0%20%2B%20dx)%0A%20%20%20%20_x_cur%20%3D%20_x0%20%2B%20_dx%0A%20%20%20%20_points%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20CP%20point%0A%20%20%20%20_y_cp_cur%20%3D%20_k%20%2F%20_x_cur%0A%20%20%20%20_points.append(%7B%22x%20reserve%22%3A%20_x_cur%2C%20%22y%20reserve%22%3A%20_y_cp_cur%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Invariant%22%3A%20%22Constant%20product%20(xy%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22slope%22%3A%20f%22dy%2Fdx%20%3D%20%7B-_k%20%2F%20_x_cur**2%3A.2f%7D%22%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20CS%20point%0A%20%20%20%20_y_cs_cur%20%3D%20_k_sum%20-%20_x_cur%0A%20%20%20%20if%20_y_cs_cur%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_points.append(%7B%22x%20reserve%22%3A%20_x_cur%2C%20%22y%20reserve%22%3A%20_y_cs_cur%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Invariant%22%3A%20%22Constant%20sum%20(x%2By%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22slope%22%3A%20%22dy%2Fdx%20%3D%20-1.00%20(constant)%22%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20SS%20point%20(Newton%20solve)%0A%20%20%20%20_y_ss_guess%20%3D%20_k%20%2F%20_x_cur%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(50)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fv%20%3D%20_x_cur**3%20*%20_y_ss_guess%20%2B%20_x_cur%20*%20_y_ss_guess**3%20-%20_k_ss%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fpv%20%3D%20_x_cur**3%20%2B%203%20*%20_x_cur%20*%20_y_ss_guess**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_fpv)%20%3C%201e-15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ss_new%20%3D%20_y_ss_guess%20-%20_fv%20%2F%20_fpv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_y_ss_new%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ss_new%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_y_ss_new%20-%20_y_ss_guess)%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ss_guess%20%3D%20_y_ss_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ss_guess%20%3D%20_y_ss_new%0A%20%20%20%20%23%20Slope%3A%20implicit%20differentiation%20of%20x%5E3*y%20%2B%20x*y%5E3%20%3D%20k%0A%20%20%20%20%23%20dy%2Fdx%20%3D%20-(3x%5E2*y%20%2B%20y%5E3)%20%2F%20(x%5E3%20%2B%203x*y%5E2)%0A%20%20%20%20_ss_slope%20%3D%20-(3%20*%20_x_cur**2%20*%20_y_ss_guess%20%2B%20_y_ss_guess**3)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_cur**3%20%2B%203%20*%20_x_cur%20*%20_y_ss_guess**2)%0A%20%20%20%20_points.append(%7B%22x%20reserve%22%3A%20_x_cur%2C%20%22y%20reserve%22%3A%20_y_ss_guess%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Invariant%22%3A%20%22StableSwap%20(x%5Cu00b3y%2Bxy%5Cu00b3%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22slope%22%3A%20f%22dy%2Fdx%20%3D%20%7B_ss_slope%3A.2f%7D%22%7D)%0A%0A%20%20%20%20_pts_df%20%3D%20pd.DataFrame(_points)%0A%20%20%20%20_pts_chart%20%3D%20alt.Chart(_pts_df).mark_circle(size%3D100).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%20reserve%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22y%20reserve%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Invariant%3AN%22%2C%20legend%3DNone%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Constant%20product%20(xy%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Constant%20sum%20(x%2By%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22StableSwap%20(x%5Cu00b3y%2Bxy%5Cu00b3%3Dk)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%23059669%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Invariant%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22x%20reserve%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22y%20reserve%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22slope%3AN%22%2C%20title%3D%22Price%20(dy%2Fdx)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_curves_chart%20%2B%20_pts_chart).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D380%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Invariant%20curves%20%E2%80%94%20reserve%20space%20(x%2C%20y)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20price%20info%20for%20caption%0A%20%20%20%20_cp_price%20%3D%20_k%20%2F%20_x_cur**2%0A%20%20%20%20_caption_parts%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Current%20reserve%20point**%20at%20x%20%3D%20%7B_x_cur%3A.0f%7D%20(trade%20size%20%3D%20%7B_dx%3A.0f%7D)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22-%20Constant%20product%20price%20(%7Cdy%2Fdx%7C)%3A%20**%7B_cp_price%3A.4f%7D**%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20if%20_y_cs_cur%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_caption_parts.append(%22-%20Constant%20sum%20price%3A%20**1.0000**%20(always)%22)%0A%20%20%20%20_caption_parts.append(f%22-%20StableSwap%20price%3A%20**%7Babs(_ss_slope)%3A.4f%7D**%22)%0A%20%20%20%20_caption_parts.append(%22%22)%0A%20%20%20%20_caption_parts.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Notice%20how%20the%20constant-product%20slope%20steepens%20as%20x%20grows%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22(the%20trader%20receives%20fewer%20y%20per%20x).%20The%20constant-sum%20slope%20never%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22changes.%20StableSwap%20sits%20between%3A%20near-flat%20when%20reserves%20are%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22balanced%2C%20steepening%20toward%20the%20edges.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_caption_parts))%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Throughput%20Gap%20%E2%80%94%20Why%20Order%20Books%20Cannot%20Live%20On-Chain%0A%0A%20%20%20%20A%20centralized%20exchange%20matching%20engine%20handles%20%24O(10%5E5)%24%20messages%20per%0A%20%20%20%20second%20per%20partition.%20A%20market%20maker%20quoting%2020%20price%20levels%20must%20send%0A%20%20%20%2020%20state-modifying%20transactions%20per%20update%20cycle.%20On%20Ethereum%20L1%20at%0A%20%20%20%20~15%20TPS%2C%20the%20entire%20chain%20capacity%20would%20be%20consumed%20by%20a%20**single%0A%20%20%20%20market%20maker%20updating%20once**.%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20below%20shows%20this%20gap.%20Adjust%20the%20number%20of%20price%20levels%20a%0A%20%20%20%20market%20maker%20maintains%20to%20see%20how%20the%20required%20transaction%20rate%20scales.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20levels_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%2050%2C%20value%3D20%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Price%20levels%20to%20maintain%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20levels_slider%0A%20%20%20%20return%20(levels_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20levels_slider%2C%20mo%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_levels%20%3D%20int(levels_slider.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Base%20TPS%20figures%0A%20%20%20%20_venues%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Venue%22%3A%20%22NYSE%20Arca%22%2C%20%22TPS%22%3A%20100_000%2C%20%22Type%22%3A%20%22Exchange%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Venue%22%3A%20%22Solana%22%2C%20%22TPS%22%3A%204_000%2C%20%22Type%22%3A%20%22Blockchain%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Venue%22%3A%20%22Arbitrum%20L2%22%2C%20%22TPS%22%3A%2040%2C%20%22Type%22%3A%20%22Blockchain%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Venue%22%3A%20%22Ethereum%20L1%22%2C%20%22TPS%22%3A%2015%2C%20%22Type%22%3A%20%22Blockchain%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_venues)%0A%0A%20%20%20%20%23%20MM%20requirement%3A%20levels%20*%20updates_per_second%20(assume%2010%20updates%2Fs)%0A%20%20%20%20_mm_updates_per_sec%20%3D%2010%0A%20%20%20%20_mm_tps%20%3D%20_levels%20*%20_mm_updates_per_sec%0A%0A%20%20%20%20_bars%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_bar().encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Venue%3AN%22%2C%20sort%3D%22-y%22%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22TPS%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(type%3D%22log%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Transactions%20per%20second%20(log%20scale)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Type%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Exchange%22%2C%20%22Blockchain%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Venue%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22TPS%3AQ%22%2C%20format%3D%22%2C%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Type%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Market%20maker%20requirement%20line%0A%20%20%20%20_mm_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B_mm_tps%5D%2C%20%22label%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22MM%20need%3A%20%7B_levels%7D%20levels%20x%20%7B_mm_updates_per_sec%7D%2Fs%20%3D%20%7B_mm_tps%3A%2C%7D%20TPS%22%0A%20%20%20%20%5D%7D)%0A%20%20%20%20_mm_rule%20%3D%20alt.Chart(_mm_df).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23059669%22%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20strokeDash%3D%5B6%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%20%20%20%20_mm_label%20%3D%20alt.Chart(_mm_df).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22left%22%2C%20dx%3D5%2C%20dy%3D-10%2C%20color%3D%22%23059669%22%2C%20fontSize%3D12%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22label%3AN%22)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_bars%20%2B%20_mm_rule%20%2B%20_mm_label).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D500%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Throughput%3A%20exchanges%20vs.%20blockchains%20(log%20scale)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20market%20maker%20quoting%20**%7B_levels%7D%20price%20levels**%20at%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_mm_updates_per_sec%7D%20updates%2Fsecond%20needs%20**%7B_mm_tps%3A%2C%7D%20TPS**%20just%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20its%20own%20quotes.%20That%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**%7B_mm_tps%20%2F%2015%3A.0f%7Dx**%20Ethereum%20L1%20capacity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**%7B_mm_tps%20%2F%2040%3A.1f%7Dx**%20Arbitrum%20capacity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**%7B_mm_tps%20%2F%204000%3A.2f%7Dx**%20Solana%20capacity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**%7B_mm_tps%20%2F%20100_000%3A.4f%7Dx**%20NYSE%20Arca%20capacity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20why%20AMMs%20replaced%20order%20books%20on-chain%3A%20a%20single%0A%20%20%20%20%20%20%20%20constant-product%20swap%20is%20**one%20transaction**%2C%20regardless%20of%20how%0A%20%20%20%20%20%20%20%20many%20price%20levels%20a%20traditional%20book%20would%20need.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%2C%20_dx%2C%20_Rx%20%3D%20sp.symbols(%22x%20y%20Delta_x%20R_x%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_k_sym%20%3D%20sp.Symbol(%22k%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Constant%20product%3A%20effective%20price%20%3D%20y_out%20%2F%20dx%0A%20%20%20%20%23%20y_out%20%3D%20Ry%20-%20k%2F(Rx%20%2B%20dx)%20%3D%20Ry%20*%20dx%20%2F%20(Rx%20%2B%20dx)%0A%20%20%20%20_Ry%20%3D%20_k_sym%20%2F%20_Rx%0A%20%20%20%20_y_out%20%3D%20_Ry%20*%20_dx%20%2F%20(_Rx%20%2B%20_dx)%0A%20%20%20%20_eff_price%20%3D%20sp.simplify(_y_out%20%2F%20_dx)%0A%20%20%20%20_mid_price%20%3D%20_Ry%20%2F%20_Rx%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20impact%20%3D%201%20-%20eff_price%20%2F%20mid_price%0A%20%20%20%20_impact%20%3D%20sp.simplify(1%20-%20_eff_price%20%2F%20_mid_price)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Price%20Impact%20%E2%80%94%20AMM%20vs.%20Order%20Book%0A%0A%20%20%20%20On%20a%20constant-product%20AMM%20with%20reserves%20%24(R_x%2C%20R_y)%24%20and%20invariant%0A%20%20%20%20%24R_x%20%5C%5Ccdot%20R_y%20%3D%20k%24%2C%20the%20**mid-market%20price**%20(marginal%20price%20for%20an%0A%20%20%20%20infinitesimal%20trade)%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p_%7B%7Bmid%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7BR_y%7D%7D%7B%7BR_x%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_mid_price)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20finite%20trade%20selling%20%24%5C%5CDelta%20x%24%20tokens%20into%20the%20pool%2C%20the%0A%20%20%20%20**effective%20price**%20(average%20execution%20price)%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p_%7B%7Beff%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20y%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20x%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7BR_y%7D%7D%7B%7BR_x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(_eff_price)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**price%20impact**%20%E2%80%94%20the%20percentage%20by%20which%20the%20effective%20price%20is%0A%20%20%20%20worse%20than%20mid%20%E2%80%94%20simplifies%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7Bimpact%7D%7D%20%3D%201%20-%20%5C%5Cfrac%7B%7Bp_%7B%7Beff%7D%7D%7D%7D%7B%7Bp_%7B%7Bmid%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%7Bsp.latex(_impact)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20small%20trades%20(%24%5C%5CDelta%20x%20%5C%5Cll%20R_x%24)%2C%20the%20impact%20is%20approximately%0A%20%20%20%20%24%5C%5CDelta%20x%20%2F%20R_x%24%20%E2%80%94%20linear%20in%20trade%20size%20relative%20to%20reserves.%20But%20the%0A%20%20%20%20relationship%20is%20**convex**%3A%20each%20additional%20unit%20of%20%24%5C%5CDelta%20x%24%20costs%0A%20%20%20%20more%20than%20the%20last%2C%20because%20the%20denominator%20%24(R_x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x)%24%20grows.%0A%0A%20%20%20%20Compare%20this%20to%20a%20hypothetical%20order%20book%20with%20**uniform%20depth**%20%24d%24%0A%20%20%20%20tokens%20per%20price%20level%3A%20impact%20is%20purely%20linear%2C%20%24%5C%5CDelta%20x%20%2F%20(2d)%24%2C%0A%20%20%20%20with%20no%20convexity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20rx_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201000%2C%2050000%2C%20value%3D10000%2C%20step%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22R_x%20(token%20reserve)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ry_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201000%2C%2050000%2C%20value%3D10000%2C%20step%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22R_y%20(quote%20reserve)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20max_trade_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%2010000%2C%20value%3D2000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Max%20trade%20size%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Brx_slider%2C%20ry_slider%2C%20max_trade_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20max_trade_slider%2C%20rx_slider%2C%20ry_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20max_trade_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20rx_slider%2C%20ry_slider)%3A%0A%20%20%20%20_Rx%20%3D%20float(rx_slider.value)%0A%20%20%20%20_Ry%20%3D%20float(ry_slider.value)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20_Rx%20*%20_Ry%0A%20%20%20%20_max_dx%20%3D%20float(max_trade_slider.value)%0A%0A%20%20%20%20_dxs%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%20_max_dx%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20AMM%20effective%20price%3A%20Ry%20%2F%20(Rx%20%2B%20dx)%0A%20%20%20%20_eff_amm%20%3D%20_Ry%20%2F%20(_Rx%20%2B%20_dxs)%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%20_Ry%20%2F%20_Rx%0A%0A%20%20%20%20%23%20AMM%20price%20impact%3A%20dx%20%2F%20(Rx%20%2B%20dx)%0A%20%20%20%20_impact_amm%20%3D%20_dxs%20%2F%20(_Rx%20%2B%20_dxs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Order%20book%20with%20uniform%20depth%3A%20impact%20%3D%20dx%20%2F%20(2%20*%20total_depth)%0A%20%20%20%20%23%20Calibrate%20so%20that%20a%20small%20trade%20has%20the%20same%20impact%20as%20the%20AMM%0A%20%20%20%20%23%20For%20AMM%2C%20small-trade%20impact%20~%20dx%20%2F%20Rx%2C%20so%20set%202*depth%20%3D%20Rx%0A%20%20%20%20_depth%20%3D%20_Rx%20%2F%202%0A%20%20%20%20_impact_ob%20%3D%20_dxs%20%2F%20(2%20*%20_depth)%0A%20%20%20%20%23%20Cap%20at%20100%25%0A%20%20%20%20_impact_ob%20%3D%20np.minimum(_impact_ob%2C%201.0)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20dataframes%0A%20%20%20%20_impact_df%20%3D%20pd.concat(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%22%3A%20_dxs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20impact%22%3A%20_impact_amm%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Venue%22%3A%20%22Constant-product%20AMM%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%22%3A%20_dxs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20impact%22%3A%20_impact_ob%20*%20100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Venue%22%3A%20%22Order%20book%20(uniform%20depth)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20ignore_index%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_impact_chart%20%3D%20alt.Chart(_impact_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%20size%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20size%20(%5Cu0394x)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20impact%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20impact%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Venue%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Constant-product%20AMM%22%2C%20%22Order%20book%20(uniform%20depth)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23BA68C8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Venue%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Trade%20size%3AQ%22%2C%20format%3D%22%2C.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Price%20impact%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22%2C%20title%3D%22Impact%20%25%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Price%20impact%20vs.%20trade%20size%20(R_x%3D%7B_Rx%3A%2C.0f%7D%2C%20R_y%3D%7B_Ry%3A%2C.0f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Effective%20price%20chart%0A%20%20%20%20_eff_ob%20%3D%20_mid%20*%20(1%20-%20_impact_ob)%0A%20%20%20%20_price_df%20%3D%20pd.concat(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%22%3A%20_dxs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Effective%20price%22%3A%20_eff_amm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Venue%22%3A%20%22Constant-product%20AMM%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%22%3A%20_dxs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Effective%20price%22%3A%20_eff_ob%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Venue%22%3A%20%22Order%20book%20(uniform%20depth)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20ignore_index%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_price_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%20size%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20size%20(%5Cu0394x)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Effective%20price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Effective%20price%20(y%20per%20x)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Venue%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Constant-product%20AMM%22%2C%20%22Order%20book%20(uniform%20depth)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23BA68C8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Effective%20execution%20price%20vs.%20trade%20size%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mid-price%20reference%20line%0A%20%20%20%20_mid_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B_mid%5D%2C%20%22label%22%3A%20%5Bf%22Mid%20price%3A%20%7B_mid%3A.4f%7D%22%5D%7D)%0A%20%20%20%20_mid_rule%20%3D%20alt.Chart(_mid_df).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_sample_dx%20%3D%20_max_dx%20*%200.1%0A%20%20%20%20_sample_impact%20%3D%20_sample_dx%20%2F%20(_Rx%20%2B%20_sample_dx)%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_impact_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_price_chart%20%2B%20_mid_rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Key%20observations%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Both%20venues%20are%20calibrated%20to%20the%20same%20small-trade%20sensitivity%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%20tiny%20trade%20has%20roughly%20the%20same%20impact%20on%20either%20venue.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20AMM%20curve%20is%20**convex**%20(bending%20upward)%3A%20each%20additional%20unit%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20of%20trade%20size%20costs%20disproportionately%20more.%20This%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24(R_x%20%2B%20%5C%5CDelta%20x)%24%20denominator%20at%20work.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20order%20book%20line%20is%20**linear**%3A%20impact%20grows%20at%20a%20constant%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(uniform%20depth%20at%20every%20price%20level).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%20a%20trade%20of%20%7B_sample_dx%3A%2C.0f%7D%20(%3D%7B_sample_dx%2F_Rx*100%3A.1f%7D%25%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reserves)%2C%20AMM%20impact%20is%20**%7B_sample_impact%3A.2f%7D%25**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20AMM's%20convexity%20protects%20LPs%20against%20large%20trades%20but%20makes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20execution%20worse%20for%20big%20traders.%20This%20is%20why%20concentrated%20liquidity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(Uniswap%20V3)%20and%20hybrid%20curves%20(Curve)%20exist%3A%20they%20reshape%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20impact%20curve%20to%20be%20flatter%20where%20it%20matters.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A