Glosten-Milgrom: Adverse Selection and the Spread

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Glosten-Milgrom%3A%20Adverse%20Selection%20and%20the%20Spread%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Glosten-Milgrom%20(1985)%20%E2%80%94%20Adverse%20Selection%20and%20the%20Spread%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20explores%20the%20**Glosten-Milgrom%20model**%2C%20the%20foundational%20model%0A%20%20%20%20of%20how%20information%20asymmetry%20creates%20bid-ask%20spreads.%20A%20market%20maker%20faces%20a%0A%20%20%20%20mix%20of%20**informed**%20and%20**uninformed**%20traders.%20Since%20informed%20traders%0A%20%20%20%20systematically%20buy%20when%20the%20asset%20is%20underpriced%20and%20sell%20when%20overpriced%2C%0A%20%20%20%20the%20maker%20must%20widen%20the%20spread%20to%20break%20even.%0A%0A%20%20%20%20**Companion%20note%3A**%20%5B%5Bglosten-milgrom-model%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%0A%20%20%20%201.%20**Spread%20vs%20Informed%20Fraction**%20%E2%80%94%20how%20bid%2C%20ask%2C%20and%20spread%20change%20with%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20fraction%20of%20informed%20traders%20%24%5Cpi%24%0A%20%20%20%202.%20**Bayesian%20Updating%20Simulation**%20%E2%80%94%20watch%20the%20market%20maker%20learn%20the%20true%0A%20%20%20%20%20%20%20value%20trade-by-trade%0A%20%20%20%203.%20**Convergence%20Speed**%20%E2%80%94%20heatmap%20showing%20how%20%24%5Cpi%24%20and%20the%20starting%20prior%0A%20%20%20%20%20%20%20affect%20price%20discovery%20speed%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_VH%2C%20_VL%2C%20_p%2C%20_pi%20%3D%20sp.symbols(%22V_H%20V_L%20p%20pi%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_ask_expr%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_p%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20-%20_pi)%20*%20_VL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(_p%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20-%20_pi))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_bid_expr%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_p%20*%20(1%20-%20_pi)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20*%20_VL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(_p%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20%2B%20_pi))%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Spread%20vs%20Informed%20Fraction%20(%24%5Cpi%24)%0A%0A%20%20%20%20The%20market%20maker%20sets%20the%20**ask**%20(price%20to%20sell)%20and%20**bid**%20(price%20to%20buy)%0A%20%20%20%20as%20the%20conditional%20expected%20value%20of%20the%20asset%20given%20the%20direction%20of%20the%0A%20%20%20%20incoming%20order.%20With%20prior%20probability%20%24p%24%20that%20the%20true%20value%20is%20%24V_H%24%20and%0A%20%20%20%20fraction%20%24%5Cpi%24%20of%20informed%20traders%3A%0A%0A%20%20%20%20**Ask**%20(expected%20value%20given%20a%20buy)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24a%20%3D%20%7Bsp.latex(_ask_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Bid**%20(expected%20value%20given%20a%20sell)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24b%20%3D%20%7Bsp.latex(_bid_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20When%20%24%5Cpi%20%3D%200%24%2C%20the%20maker%20learns%20nothing%20from%20order%20flow%20%E2%80%94%20bid%20equals%20ask%0A%20%20%20%20equals%20the%20unconditional%20expected%20value%20%24p%20V_H%20%2B%20(1-p)%20V_L%24.%20When%20%24%5Cpi%20%3D%201%24%2C%0A%20%20%20%20the%20ask%20jumps%20to%20%24V_H%24%20and%20the%20bid%20drops%20to%20%24V_L%24%3A%20the%20spread%20equals%20the%0A%20%20%20%20full%20range%20of%20uncertainty.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20adjust%20the%20sliders%20to%20see%20how%20the%20spread%20widens%20with%20%24%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20vh_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050.0%2C%20200.0%2C%20value%3D120.0%2C%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22V_H%20(high%20value)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20vl_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%2C%20100.0%2C%20value%3D80.0%2C%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22V_L%20(low%20value)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20prior_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%200.95%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Prior%20p%20(prob%20V%20%3D%20V_H)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bvh_slider%2C%20vl_slider%2C%20prior_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20prior_slider%2C%20vh_slider%2C%20vl_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20prior_slider%2C%20vh_slider%2C%20vl_slider)%3A%0A%20%20%20%20_VH%20%3D%20max(vh_slider.value%2C%20vl_slider.value%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_VL%20%3D%20vl_slider.value%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20prior_slider.value%0A%20%20%20%20_pi_arr%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%2C%20200)%0A%0A%20%20%20%20_ask%20%3D%20(_p%20*%20(1%20%2B%20_pi_arr)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20-%20_pi_arr)%20*%20_VL)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_p%20*%20(1%20%2B%20_pi_arr)%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20-%20_pi_arr)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_bid%20%3D%20(_p%20*%20(1%20-%20_pi_arr)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20%2B%20_pi_arr)%20*%20_VL)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_p%20*%20(1%20-%20_pi_arr)%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20(1%20%2B%20_pi_arr)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%20(_ask%20%2B%20_bid)%20%2F%202%0A%20%20%20%20_spread%20%3D%20_ask%20-%20_bid%0A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20len(_pi_arr)%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Informed%20fraction%20(pi)%22%3A%20np.tile(_pi_arr%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%22%3A%20np.concatenate(%5B_ask%2C%20_bid%2C%20_mid%2C%20_spread%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Series%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Ask%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Bid%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Mid%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Spread%22%5D%20*%20_n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Informed%20fraction%20(pi)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Informed%20fraction%20(pi)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Bid%22%2C%20%22Mid%22%2C%20%22Spread%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%235C6BC0%22%2C%20%22%2366BB6A%22%2C%20%22%23BA68C8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Bid%22%2C%20%22Mid%22%2C%20%22Spread%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B4%2C%204%5D%2C%20%5B8%2C%204%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Bid%2C%20Ask%2C%20Mid%2C%20and%20Spread%20vs%20pi%20%20(V_H%3D%7B_VH%7D%2C%20V_L%3D%7B_VL%7D%2C%20p%3D%7B_p%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%24%5C%5Cpi%20%3D%200%24%3A%20bid%20%3D%20ask%20%3D%20mid%20%3D%20%24%7B_p%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_p)%20*%20_VL%3A.2f%7D%24%20(zero%20spread).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%24%5C%5Cpi%20%3D%201%24%3A%20ask%20%3D%20%24V_H%20%3D%20%7B_VH%7D%24%2C%20bid%20%3D%20%24V_L%20%3D%20%7B_VL%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%20%3D%20%24%7B_VH%20-%20_VL%3A.0f%7D%24%20(full%20uncertainty%20range).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Bayesian%20Updating%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20sequential%20version%20of%20the%20model%2C%20the%20market%20maker%20updates%20beliefs%0A%20%20%20%20after%20**each%20trade**.%20Let%20%24p_t%24%20be%20the%20belief%20that%20%24V%20%3D%20V_H%24%20before%20trade%20%24t%24.%0A%0A%20%20%20%20**After%20a%20buy%3A**%0A%20%20%20%20%24%24p_%7Bt%2B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bp_t%20(1%20%2B%20%5Cpi)%7D%7Bp_t%20(1%20%2B%20%5Cpi)%20%2B%20(1%20-%20p_t)(1%20-%20%5Cpi)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**After%20a%20sell%3A**%0A%20%20%20%20%24%24p_%7Bt%2B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bp_t%20(1%20-%20%5Cpi)%7D%7Bp_t%20(1%20-%20%5Cpi)%20%2B%20(1%20-%20p_t)(1%20%2B%20%5Cpi)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20mid-price%20%24m_t%20%3D%20p_t%20V_H%20%2B%20(1-p_t)%20V_L%24%20converges%20to%20the%20true%20value%20as%0A%20%20%20%20trades%20accumulate.%20More%20informed%20traders%20(%24%5Cpi%24)%20means%20faster%20convergence%20but%0A%20%20%20%20wider%20spreads%20along%20the%20way.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_pi%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%200.95%2C%20value%3D0.3%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Informed%20fraction%20(pi)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_vh%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050.0%2C%20200.0%2C%20value%3D120.0%2C%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22V_H%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_vl%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%2C%20100.0%2C%20value%3D80.0%2C%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22V_L%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_trades%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20200%2C%20value%3D50%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20trades%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%2099%2C%20value%3D42%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_pi%2C%20sim_vh%2C%20sim_vl%2C%20sim_trades%2C%20sim_seed%5D%2C%20gap%3D1)%0A%20%20%20%20return%20sim_pi%2C%20sim_seed%2C%20sim_trades%2C%20sim_vh%2C%20sim_vl%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20centered_fig%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20sim_pi%2C%0A%20%20%20%20sim_seed%2C%0A%20%20%20%20sim_trades%2C%0A%20%20%20%20sim_vh%2C%0A%20%20%20%20sim_vl%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_pi%20%3D%20sim_pi.value%0A%20%20%20%20_VH%20%3D%20max(sim_vh.value%2C%20sim_vl.value%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_VL%20%3D%20sim_vl.value%0A%20%20%20%20_n_trades%20%3D%20sim_trades.value%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(sim_seed.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20true%20value%0A%20%20%20%20_true_V%20%3D%20_rng.choice(%5B_VH%2C%20_VL%5D)%0A%20%20%20%20_is_high%20%3D%20_true_V%20%3D%3D%20_VH%0A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20trade%20sequence%0A%20%20%20%20_trades%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(_n_trades)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_is_informed%20%3D%20_rng.random()%20%3C%20_pi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_is_informed%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_trades.append(1%20if%20_is_high%20else%20-1)%20%20%23%20buy%20if%20high%2C%20sell%20if%20low%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_trades.append(1%20if%20_rng.random()%20%3C%200.5%20else%20-1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Run%20Bayesian%20updating%0A%20%20%20%20_p_t%20%3D%200.5%20%20%23%20start%20with%20uniform%20prior%0A%20%20%20%20_beliefs%20%3D%20%5B_p_t%5D%0A%20%20%20%20for%20_trade%20in%20_trades%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_trade%20%3D%3D%201%3A%20%20%23%20buy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20%3D%20_p_t%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2F%20(_p_t%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p_t)%20*%20(1%20-%20_pi))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%20%20%23%20sell%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20%3D%20_p_t%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2F%20(_p_t%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p_t)%20*%20(1%20%2B%20_pi))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_beliefs.append(_p_t)%0A%0A%20%20%20%20_beliefs_arr%20%3D%20np.array(_beliefs)%0A%20%20%20%20_mids%20%3D%20_beliefs_arr%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_beliefs_arr)%20*%20_VL%0A%20%20%20%20_asks%20%3D%20(_beliefs_arr%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_beliefs_arr)%20*%20(1%20-%20_pi)%20*%20_VL)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_beliefs_arr%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_beliefs_arr)%20*%20(1%20-%20_pi)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_bids%20%3D%20(_beliefs_arr%20*%20(1%20-%20_pi)%20*%20_VH%20%2B%20(1%20-%20_beliefs_arr)%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20*%20_VL)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_beliefs_arr%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_beliefs_arr)%20*%20(1%20%2B%20_pi)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(_n_trades%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20len(_t)%0A%20%20%20%20_df_prices%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20np.tile(_t%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%22%3A%20np.concatenate(%5B_asks%2C%20_bids%2C%20_mids%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Series%22%3A%20%5B%22Ask%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Bid%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Mid%22%5D%20*%20_n%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_df_prices).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20number%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B_VL%20*%200.9%2C%20_VH%20*%201.1%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Bid%22%2C%20%22Mid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%235C6BC0%22%2C%20%22%2366BB6A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D300)%0A%0A%20%20%20%20_true_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20%5B0%2C%20_n_trades%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%22%3A%20%5B_true_V%2C%20_true_V%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_line(strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20color%3D%22%23333333%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Trade%3AQ%22%2C%20y%3D%22Price%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_combined%20%3D%20(_price_chart%20%2B%20_true_line).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Bayesian%20updating%20%E2%80%94%20true%20value%20%3D%20%7B_true_V%7D%20(seed%3D%7Bsim_seed.value%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Belief%20trajectory%0A%20%20%20%20_df_belief%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Belief%20p(V%3DV_H)%22%3A%20_beliefs_arr%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_belief_chart%20%3D%20alt.Chart(_df_belief).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeWidth%3D2.5%2C%20color%3D%22%23BA68C8%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20number%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Belief%20p(V%3DV_H)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%201%5D))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D200%2C%20title%3D%22Belief%20trajectory%3A%20p(V%20%3D%20V_H)%22)%0A%0A%20%20%20%20_target_belief%20%3D%201.0%20if%20_is_high%20else%200.0%0A%20%20%20%20_target_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20%5B0%2C%20_n_trades%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Belief%20p(V%3DV_H)%22%3A%20%5B_target_belief%2C%20_target_belief%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_line(strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20color%3D%22%23333333%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Trade%3AQ%22%2C%20y%3D%22Belief%20p(V%3DV_H)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_belief_combined%20%3D%20_belief_chart%20%2B%20_target_line%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_combined)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_belief_combined)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**True%20value%3A**%20%24%7B_true_V%7D%24%20(dashed%20black%20line).%20The%20mid-price%20(green)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20converges%20toward%20it%20as%20the%20maker%20accumulates%20trade%20signals.%20The%20spread%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(gap%20between%20ask%20and%20bid)%20narrows%20as%20uncertainty%20resolves.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Final%20belief%20%24p_T%20%3D%20%7B_beliefs_arr%5B-1%5D%3A.4f%7D%24%2C%20final%20mid%20%3D%20%24%7B_mids%5B-1%5D%3A.2f%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Convergence%20Speed%0A%0A%20%20%20%20How%20quickly%20does%20the%20mid-price%20converge%20to%20the%20true%20value%3F%20This%20depends%20on%0A%20%20%20%20two%20factors%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Informed%20fraction%20%24%5Cpi%24**%3A%20higher%20%24%5Cpi%24%20means%20each%20trade%20carries%20more%0A%20%20%20%20%20%20information%2C%20so%20convergence%20is%20faster%0A%20%20%20%20-%20**Starting%20prior%20%24p_0%24**%3A%20if%20the%20prior%20already%20leans%20toward%20the%20truth%2C%0A%20%20%20%20%20%20fewer%20trades%20are%20needed%0A%0A%20%20%20%20The%20heatmap%20below%20shows%20the%20**expected%20number%20of%20trades**%20to%20converge%20within%0A%20%20%20%20%24%5Cvarepsilon%20%3D%200.05%24%20of%20the%20true%20belief%20(%24p%20%3E%200.95%24%20if%20%24V%20%3D%20V_H%24%2C%20or%0A%20%20%20%20%24p%20%3C%200.05%24%20if%20%24V%20%3D%20V_L%24).%20Each%20cell%20averages%20over%20200%20simulation%20runs.%0A%0A%20%20%20%20The%20diagonal%20pattern%20is%20clear%3A%20**higher%20%24%5Cpi%24%20and%20more%20accurate%20priors%20both%0A%20%20%20%20accelerate%20price%20discovery**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_pi_vals%20%3D%20np.arange(0.1%2C%200.95%2C%200.1)%0A%20%20%20%20_p0_vals%20%3D%20np.arange(0.1%2C%200.95%2C%200.1)%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%200.05%0A%20%20%20%20_max_trades%20%3D%20500%0A%20%20%20%20_n_sims%20%3D%20200%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(0)%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_pi%20in%20_pi_vals%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_p0%20in%20_p0_vals%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_total%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sim%20in%20range(_n_sims)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_is_high%20%3D%20_rng.random()%20%3C%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_target%20%3D%201.0%20-%20_eps%20if%20_is_high%20else%20_eps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20%3D%20_p0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_converged%20%3D%20_max_trades%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_trade_num%20in%20range(1%2C%20_max_trades%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_informed%20%3D%20_rng.random()%20%3C%20_pi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_informed%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_buy%20%3D%20_is_high%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_buy%20%3D%20_rng.random()%20%3C%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_buy%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20%3D%20_p_t%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20*%20(1%20%2B%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p_t)%20*%20(1%20-%20_pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20%3D%20_p_t%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_t%20*%20(1%20-%20_pi)%20%2B%20(1%20-%20_p_t)%20*%20(1%20%2B%20_pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(_is_high%20and%20_p_t%20%3E%3D%20_target)%20or%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20_is_high%20and%20_p_t%20%3C%3D%20_target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_converged%20%3D%20_trade_num%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_total%20%2B%3D%20_converged%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pi%22%3A%20round(_pi%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Prior%20p0%22%3A%20round(_p0%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trades%20to%20converge%22%3A%20_total%20%2F%20_n_sims%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(_rows)%0A%0A%20%20%20%20_heatmap%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_rect().encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22pi%3AO%22%2C%20title%3D%22Informed%20fraction%20(pi)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Prior%20p0%3AO%22%2C%20title%3D%22Starting%20prior%20p0%22%2C%20sort%3D%22descending%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trades%20to%20converge%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(scheme%3D%22viridis%22%2C%20reverse%3DTrue)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Avg%20trades%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22pi%3AO%22%2C%20%22Prior%20p0%3AO%22%2C%20alt.Tooltip(%22Trades%20to%20converge%3AQ%22%2C%20format%3D%22.1f%22)%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D450%2C%20height%3D400%2C%20title%3D%22Expected%20trades%20to%20converge%20within%20eps%3D0.05%22)%0A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_text(fontSize%3D11%2C%20color%3D%22white%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22pi%3AO%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Prior%20p0%3AO%22%2C%20sort%3D%22descending%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Dalt.Text(%22Trades%20to%20converge%3AQ%22%2C%20format%3D%22.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_heatmap%20%2B%20_text)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Reading%20the%20heatmap%3A**%20darker%20cells%20%3D%20fewer%20trades%20needed%20(faster%0A%20%20%20%20%20%20%20%20convergence).%20The%20bottom-left%20corner%20(%24%5Cpi%24%20low%2C%20prior%20far%20from%20truth)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20slowest.%20The%20top-right%20(%24%5Cpi%24%20high%2C%20prior%20close%20to%20truth)%20is%20fastest.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20illustrates%20the%20**fundamental%20tradeoff**%20of%20information%20in%20markets%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20more%20informed%20traders%20widen%20the%20spread%20(Section%201)%20but%20accelerate%20price%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discovery%20(this%20section).%20The%20spread%20is%20the%20*cost*%20of%20information%0A%20%20%20%20%20%20%20%20incorporation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20centered_fig(fig)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20html%20%3D%20mo.as_html(fig).text%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bjustify-content%3Acenter%3Bmargin-top%3A1.5rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bhtml%7D%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(centered_fig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A