Ho-Stoll Inventory Model

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Ho-Stoll%20Inventory%20Model%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Ho-Stoll%20(1981)%3A%20Inventory%20Risk%20Model%0A%0A%20%20%20%20A%20risk-averse%20market%20maker%20sets%20bid%20and%20ask%20quotes%20to%20compensate%20for%0A%20%20%20%20**inventory%20risk**%20--%20the%20danger%20that%20accumulated%20positions%20move%20against%0A%20%20%20%20them%20before%20they%20can%20unwind.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20lets%20you%20explore%20the%20three%20key%20results%20from%20the%20model%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Quote%20skew**%20--%20quotes%20shift%20away%20from%20inventory%20to%20attract%0A%20%20%20%20%20%20%20offsetting%20flow%0A%20%20%20%202.%20**Inventory%20path**%20--%20how%20random%20trade%20arrivals%20drive%20inventory%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20quote%20dynamics%20over%20time%0A%20%20%20%203.%20**Spread%20drivers**%20--%20spread%20%24%3D%20%5Cgamma%5Csigma%5E2%24%20depends%20only%20on%20risk%0A%20%20%20%20%20%20%20aversion%20and%20volatility%2C%20not%20inventory%0A%0A%20%20%20%20Companion%20note%3A%20%5B%5Bho-stoll-inventory-model%5D%5D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Symbolic%20derivation%20of%20Ho-Stoll%20quotes%0A%20%20%20%20mu_s%2C%20gamma_s%2C%20sigma2_s%2C%20q_s%20%3D%20sp.symbols(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%5Cmu%20%5Cgamma%20%5Csigma%5E2%20q%22%2C%20real%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ask_expr%20%3D%20mu_s%20%2B%20(gamma_s%20*%20sigma2_s%20%2F%202)%20*%20(2%20*%20q_s%20-%201)%0A%20%20%20%20bid_expr%20%3D%20mu_s%20-%20(gamma_s%20*%20sigma2_s%20%2F%202)%20*%20(2%20*%20q_s%20%2B%201)%0A%20%20%20%20spread_expr%20%3D%20sp.simplify(ask_expr%20-%20bid_expr)%0A%20%20%20%20mid_expr%20%3D%20sp.simplify((ask_expr%20%2B%20bid_expr)%20%2F%202)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Quote%20Skew%20Visualizer%0A%0A%20%20%20%20The%20market%20maker%20sets%20quotes%20so%20that%20trading%20is%20no%20worse%20than%20standing%0A%20%20%20%20pat%20(the%20**indifference%20condition**).%20Under%20CARA%20utility%20with%20normal%0A%20%20%20%20returns%2C%20the%20closed-form%20quotes%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24a%20%3D%20%7Bsp.latex(ask_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24b%20%3D%20%7Bsp.latex(bid_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**spread**%20(ask%20minus%20bid)%20simplifies%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24s%20%3D%20a%20-%20b%20%3D%20%7Bsp.latex(spread_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**adjusted%20mid**%20(midpoint%20of%20the%20maker's%20quotes)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7Bmid%7D%7D_%7B%7Badj%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Ba%20%2B%20b%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(mid_expr)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20maker%20shifts%20quotes%20away%20from%20inventory%3A%20long%20(%24q%20%3E%200%24)%20pushes%0A%20%20%20%20quotes%20down%20to%20attract%20sellers%3B%20short%20(%24q%20%3C%200%24)%20pushes%20them%20up%20to%0A%20%20%20%20attract%20buyers.%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20drag%20the%20inventory%20slider%20and%20watch%20the%20quotes%20shift%20while%0A%20%20%20%20the%20spread%20stays%20constant.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20gamma_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%203.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Risk%20aversion%20(gamma)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sigma2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%205.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Variance%20(sigma%5E2)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20q_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-5%2C%205%2C%20value%3D0%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Inventory%20(q)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bgamma_slider%2C%20sigma2_slider%2C%20q_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20gamma_slider%2C%20q_slider%2C%20sigma2_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20gamma_slider%2C%20mo%2C%20pd%2C%20q_slider%2C%20sigma2_slider)%3A%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20100.0%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20gamma_slider.value%0A%20%20%20%20_sigma2%20%3D%20sigma2_slider.value%0A%20%20%20%20_q%20%3D%20q_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_half_gs%20%3D%20_gamma%20*%20_sigma2%20%2F%202%0A%20%20%20%20_ask%20%3D%20_mu%20%2B%20_half_gs%20*%20(2%20*%20_q%20-%201)%0A%20%20%20%20_bid%20%3D%20_mu%20-%20_half_gs%20*%20(2%20*%20_q%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_adj_mid%20%3D%20(_ask%20%2B%20_bid)%20%2F%202%0A%20%20%20%20_spread%20%3D%20_ask%20-%20_bid%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20chart%20data%20--%20four%20horizontal%20rules%0A%20%20%20%20_levels%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%5B%22Ask%22%2C%20%22Adjusted%20Mid%22%2C%20%22True%20Mid%22%2C%20%22Bid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22price%22%3A%20%5B_ask%2C%20_adj_mid%2C%20_mu%2C%20_bid%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22color_order%22%3A%20%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_rules%20%3D%20alt.Chart(_levels).mark_tick(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thickness%3D3%2C%20size%3D400%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B_mu%20-%2015%2C%20_mu%20%2B%2015%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22label%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Adjusted%20Mid%22%2C%20%22True%20Mid%22%2C%20%22Bid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%23BA68C8%22%2C%20%22%2378909C%22%2C%20%22%2366BB6A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3Dalt.Legend(title%3D%22Level%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22label%3AN%22%2C%20title%3D%22Level%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D400%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Ho-Stoll%20Quotes%20%7C%20q%3D%7B_q%7D%2C%20spread%3D%7B_spread%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20text%20labels%20next%20to%20each%20tick%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20alt.Chart(_levels).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22left%22%2C%20dx%3D220%2C%20fontSize%3D13%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22price%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Dalt.Text(%22price%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22label%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Adjusted%20Mid%22%2C%20%22True%20Mid%22%2C%20%22Bid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%23BA68C8%22%2C%20%22%2378909C%22%2C%20%22%2366BB6A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_rules%20%2B%20_text)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Current%20values%3A**%20ask%20%3D%20%7B_ask%3A.2f%7D%2C%20bid%20%3D%20%7B_bid%3A.2f%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%20%3D%20%7B_spread%3A.2f%7D%2C%20adjusted%20mid%20%3D%20%7B_adj_mid%3A.2f%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20skew%20from%20true%20mid%20%3D%20%7B_adj_mid%20-%20_mu%3A%2B.2f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Inventory%20Path%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20Watch%20a%20Ho-Stoll%20market%20maker%20receive%20random%20buy%20and%20sell%20orders.%0A%20%20%20%20After%20each%20trade%2C%20inventory%20%24q%24%20updates%20by%20%24%5Cpm%201%24%20and%20quotes%20shift%0A%20%20%20%20according%20to%20the%20model.%20The%20spread%20stays%20constant%20while%20the%20whole%0A%20%20%20%20quote%20schedule%20slides%20up%20or%20down%20with%20inventory.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Buy%20probability**%20controls%20the%20fraction%20of%20incoming%20orders%20that%0A%20%20%20%20%20%20are%20buys%20(maker%20sells%2C%20inventory%20decreases).%20At%200.5%2C%20flow%20is%0A%20%20%20%20%20%20balanced%3B%20above%200.5%2C%20inventory%20trends%20negative.%0A%20%20%20%20-%20The%20true%20mid%20drifts%20with%20a%20small%20random%20walk%20to%20simulate%20price%0A%20%20%20%20%20%20uncertainty.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_trades_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20200%2C%20value%3D50%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20trades%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20buy_prob_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%200.9%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Buy%20probability%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_gamma_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%203.0%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Risk%20aversion%20(gamma)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_sigma2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%205.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Variance%20(sigma%5E2)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bn_trades_slider%2C%20buy_prob_slider%2C%20sim_gamma_slider%2C%20sim_sigma2_slider%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buy_prob_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_trades_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_gamma_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_sigma2_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20buy_prob_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_trades_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20sim_gamma_slider%2C%0A%20%20%20%20sim_sigma2_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20n_trades_slider.value%0A%20%20%20%20_buy_prob%20%3D%20buy_prob_slider.value%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20sim_gamma_slider.value%0A%20%20%20%20_sigma2%20%3D%20sim_sigma2_slider.value%0A%20%20%20%20_half_gs%20%3D%20_gamma%20*%20_sigma2%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%20trades%0A%20%20%20%20_true_mids%20%3D%20np.zeros(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_true_mids%5B0%5D%20%3D%20100.0%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(1%2C%20_n%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_true_mids%5B_i%5D%20%3D%20_true_mids%5B_i%20-%201%5D%20%2B%20_rng.normal(0%2C%200.3)%0A%0A%20%20%20%20_inventories%20%3D%20np.zeros(_n%20%2B%201%2C%20dtype%3Dint)%0A%20%20%20%20_asks%20%3D%20np.zeros(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_bids%20%3D%20np.zeros(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_adj_mids%20%3D%20np.zeros(_n%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Initial%20quotes%20at%20q%3D0%0A%20%20%20%20_asks%5B0%5D%20%3D%20_true_mids%5B0%5D%20%2B%20_half_gs%20*%20(2%20*%200%20-%201)%0A%20%20%20%20_bids%5B0%5D%20%3D%20_true_mids%5B0%5D%20-%20_half_gs%20*%20(2%20*%200%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_adj_mids%5B0%5D%20%3D%20(_asks%5B0%5D%20%2B%20_bids%5B0%5D)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(1%2C%20_n%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_is_buy%20%3D%20_rng.random()%20%3C%20_buy_prob%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dq%20%3D%20-1%20if%20_is_buy%20else%201%20%20%23%20buy%20%3D%20maker%20sells%20%3D%20inventory%20decreases%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_inventories%5B_i%5D%20%3D%20_inventories%5B_i%20-%201%5D%20%2B%20_dq%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_q%20%3D%20_inventories%5B_i%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu%20%3D%20_true_mids%5B_i%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_asks%5B_i%5D%20%3D%20_mu%20%2B%20_half_gs%20*%20(2%20*%20_q%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bids%5B_i%5D%20%3D%20_mu%20-%20_half_gs%20*%20(2%20*%20_q%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_adj_mids%5B_i%5D%20%3D%20(_asks%5B_i%5D%20%2B%20_bids%5B_i%5D)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_steps%20%3D%20np.arange(_n%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20chart%0A%20%20%20%20_price_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20np.tile(_steps%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%22%3A%20np.concatenate(%5B_asks%2C%20_bids%2C%20_adj_mids%2C%20_true_mids%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Level%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Ask%22%5D%20*%20(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Bid%22%5D%20*%20(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Adjusted%20Mid%22%5D%20*%20(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22True%20Mid%22%5D%20*%20(_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_price_df).mark_line(strokeWidth%3D1.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20%23%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DFalse))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Level%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Bid%22%2C%20%22Adjusted%20Mid%22%2C%20%22True%20Mid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%2366BB6A%22%2C%20%22%23BA68C8%22%2C%20%22%2378909C%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Level%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Ask%22%2C%20%22Bid%22%2C%20%22Adjusted%20Mid%22%2C%20%22True%20Mid%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B4%2C%204%5D%2C%20%5B2%2C%202%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Trade%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Level%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Price%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D700%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Quote%20Dynamics%20Over%20Time%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Inventory%20chart%0A%20%20%20%20_inv_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Trade%22%3A%20_steps%2C%20%22Inventory%22%3A%20_inventories%7D)%0A%0A%20%20%20%20_inv_chart%20%3D%20alt.Chart(_inv_df).mark_area(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.3%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20%22%235C6BC0%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235C6BC0%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20%23%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Inventory%3AQ%22%2C%20title%3D%22Inventory%20(q)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Trade%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Inventory%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D700%2C%20height%3D150%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Inventory%20Path%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_price_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_inv_chart)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Spread%20Drivers%0A%0A%20%20%20%20The%20Ho-Stoll%20spread%20%24s%20%3D%20%5Cgamma%5Csigma%5E2%24%20depends%20only%20on%20**risk%0A%20%20%20%20aversion**%20and%20**volatility**%20--%20inventory%20does%20not%20appear.%20These%0A%20%20%20%20charts%20show%20each%20relationship%20in%20isolation.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Left%3A**%20spread%20vs%20risk%20aversion%20%24%5Cgamma%24%20(holding%20%24%5Csigma%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20fixed).%20More%20risk-averse%20makers%20demand%20wider%20spreads.%0A%20%20%20%20-%20**Right%3A**%20spread%20vs%20volatility%20%24%5Csigma%5E2%24%20(holding%20%24%5Cgamma%24%0A%20%20%20%20%20%20fixed).%20More%20volatile%20assets%20carry%20wider%20spreads.%0A%0A%20%20%20%20Both%20are%20linear%20--%20the%20model%20predicts%20a%20proportional%20relationship.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20driver_sigma2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%205.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fixed%20sigma%5E2%20(left%20chart)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20driver_gamma_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%203.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fixed%20gamma%20(right%20chart)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bdriver_sigma2_slider%2C%20driver_gamma_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20driver_gamma_slider%2C%20driver_sigma2_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20driver_gamma_slider%2C%20driver_sigma2_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Spread%20vs%20gamma%20(sigma2%20fixed)%0A%20%20%20%20_sigma2_fixed%20%3D%20driver_sigma2_slider.value%0A%20%20%20%20_gammas%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%203.0%2C%2030)%0A%20%20%20%20_spreads_gamma%20%3D%20_gammas%20*%20_sigma2_fixed%0A%0A%20%20%20%20_df_gamma%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gamma%22%3A%20_gammas%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Spread%22%3A%20_spreads_gamma%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart_gamma%20%3D%20alt.Chart(_df_gamma).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235C6BC0%22%2C%20strokeWidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22gamma%3AQ%22%2C%20title%3D%22Risk%20aversion%20(gamma)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Spread%3AQ%22%2C%20title%3D%22Spread%20%3D%20gamma%20*%20sigma%5E2%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22gamma%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Spread%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D320%2C%20height%3D280%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Spread%20vs%20gamma%20(sigma%5E2%20%3D%20%7B_sigma2_fixed%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spread%20vs%20sigma2%20(gamma%20fixed)%0A%20%20%20%20_gamma_fixed%20%3D%20driver_gamma_slider.value%0A%20%20%20%20_sigma2s%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%205.0%2C%2030)%0A%20%20%20%20_spreads_sigma%20%3D%20_gamma_fixed%20*%20_sigma2s%0A%0A%20%20%20%20_df_sigma%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma2%22%3A%20_sigma2s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Spread%22%3A%20_spreads_sigma%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart_sigma%20%3D%20alt.Chart(_df_sigma).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23E57373%22%2C%20strokeWidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22sigma2%3AQ%22%2C%20title%3D%22Variance%20(sigma%5E2)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Spread%3AQ%22%2C%20title%3D%22Spread%20%3D%20gamma%20*%20sigma%5E2%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22sigma2%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Spread%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D320%2C%20height%3D280%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Spread%20vs%20sigma%5E2%20(gamma%20%3D%20%7B_gamma_fixed%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.as_html(_chart_gamma)%2C%20mo.as_html(_chart_sigma)%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A