Kyle's Lambda: Price Impact and Strategic Trading

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Kyle's%20Lambda%3A%20Price%20Impact%20and%20Strategic%20Trading%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Kyle's%20Lambda%3A%20Price%20Impact%20and%20Strategic%20Trading%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20is%20an%20interactive%20companion%20to%20the%0A%20%20%20%20%5BKyle's%20Lambda%5D(..%2F..%2F2%2520-%2520Areas%2FFinance%2Fmarket-microstructure%2Fkyle-lambda.md)%0A%20%20%20%20note.%20It%20lets%20you%20explore%20the%20equilibrium%20of%20Kyle%20(1985)%20%E2%80%94%20the%20model%20that%0A%20%20%20%20defines%20%24%5Clambda%24%2C%20the%20price%20impact%20coefficient%20%E2%80%94%20and%20compare%20linear%20price%0A%20%20%20%20impact%20against%20the%20convex%20impact%20of%20a%20constant-product%20AMM.%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%20%20%20%201.%20**Equilibrium%20Comparative%20Statics**%20%E2%80%94%20how%20%24%5Clambda%24%2C%20%24%5Cbeta%24%2C%20and%20insider%20profit%20change%20with%20parameters%0A%20%20%20%202.%20**Order%20Flow%20Simulation**%20%E2%80%94%20Monte%20Carlo%20draws%20from%20the%20Kyle%20equilibrium%0A%20%20%20%203.%20**Linear%20vs%20AMM%20Impact**%20%E2%80%94%20side-by-side%20comparison%20of%20impact%20schedules%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Equilibrium%20Comparative%20Statics%0A%0A%20%20%20%20Kyle's%20linear%20equilibrium%20produces%20closed-form%20expressions%20for%20every%20quantity%0A%20%20%20%20of%20interest.%20The%20two%20inputs%20are%20%24%5Csigma_v%24%20(uncertainty%20about%20the%20true%20asset%0A%20%20%20%20value)%20and%20%24%5Csigma_u%24%20(noise%20trader%20volume).%20Everything%20else%20follows.%0A%0A%20%20%20%20**Drag%20the%20sliders**%20to%20see%20how%20the%20equilibrium%20shifts.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_sv%2C%20_su%20%3D%20sp.symbols(%22sigma_v%20sigma_u%22%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_lambda_eq%20%3D%20_sv%20%2F%20(2%20*%20_su)%0A%20%20%20%20_beta_eq%20%3D%20_su%20%2F%20_sv%0A%20%20%20%20_profit_eq%20%3D%20_sv%20*%20_su%20%2F%202%0A%20%20%20%20_var_post%20%3D%20_sv**2%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Derivation%20(from%20the%20companion%20note)%3A**%0A%0A%20%20%20%20The%20insider%20trades%20%24x%20%3D%20%5C%5Cbeta(V%20-%20%5C%5Cmu)%24%20and%20the%20market%20maker%20prices%0A%20%20%20%20%24P%20%3D%20%5C%5Cmu%20%2B%20%5C%5Clambda%20y%24.%20Solving%20the%20simultaneous%20best-response%20conditions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Clambda%20%3D%20%7Bsp.latex(_lambda_eq)%7D%20%5C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5C%5Cbeta%20%3D%20%7Bsp.latex(_beta_eq)%7D%20%5C%5Cqquad%0A%20%20%20%20E%5B%5C%5Ctext%7B%7Bprofit%7D%7D%5D%20%3D%20%7Bsp.latex(_profit_eq)%7D%20%5C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5C%5Ctext%7B%7BVar%7D%7D(V%20%5C%5Cmid%20y)%20%3D%20%7Bsp.latex(_var_post)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20ratio%20%24%5C%5Csigma_v%20%2F%20%5C%5Csigma_u%24%20is%20the%20**signal-to-noise%20ratio**%20of%20order%20flow.%0A%20%20%20%20High%20signal-to-noise%20means%20high%20price%20impact%20%E2%80%94%20the%20market%20maker%20can%20more%20easily%0A%20%20%20%20detect%20informed%20trading.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sigma_v_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%2010.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22sigma_v%20(value%20uncertainty)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sigma_u_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%2010.0%2C%20value%3D4.0%2C%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22sigma_u%20(noise%20trader%20volume)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsigma_v_slider%2C%20sigma_u_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20sigma_u_slider%2C%20sigma_v_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sigma_u_slider%2C%20sigma_v_slider)%3A%0A%20%20%20%20_sv%20%3D%20sigma_v_slider.value%0A%20%20%20%20_su%20%3D%20sigma_u_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_lam%20%3D%20_sv%20%2F%20(2%20*%20_su)%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20_su%20%2F%20_sv%0A%20%20%20%20_profit%20%3D%20_sv%20*%20_su%20%2F%202%0A%20%20%20%20_var_post%20%3D%20_sv**2%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Clambda%24%20(price%20impact)%20%7C%20**%7B_lam%3A.4f%7D**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Cbeta%24%20(insider%20aggressiveness)%20%7C%20**%7B_beta%3A.4f%7D**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24E%5B%5C%5Ctext%7B%7Bprofit%7D%7D%5D%24%20%7C%20**%7B_profit%3A.2f%7D**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Ctext%7B%7BVar%7D%7D(V%20%5C%5Cmid%20y)%24%20%7C%20**%7B_var_post%3A.2f%7D**%20(always%20%24%5C%5Csigma_v%5E2%20%2F%202%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Signal-to-noise%20%24%5C%5Csigma_v%20%2F%20%5C%5Csigma_u%24%20%7C%20**%7B_sv%20%2F%20_su%3A.4f%7D**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Reading%20the%20table%3A**%20A%20higher%20%24%5C%5Clambda%24%20means%20each%20unit%20of%20order%20flow%20moves%0A%20%20%20%20the%20price%20more.%20A%20higher%20%24%5C%5Cbeta%24%20means%20the%20insider%20trades%20more%20aggressively%0A%20%20%20%20(they%20have%20more%20noise%20cover).%20Profit%20increases%20with%20both%20parameters%20%E2%80%94%20more%0A%20%20%20%20information%20to%20exploit%20*and*%20more%20cover%20to%20exploit%20it%20behind.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_ratios%20%3D%20np.linspace(0.05%2C%205.0%2C%20200)%0A%20%20%20%20_lambdas%20%3D%20_ratios%20%2F%202%0A%20%20%20%20%23%20E%5Bprofit%5D%20%3D%20sigma_v%20*%20sigma_u%20%2F%202%3B%20for%20fixed%20sigma_u%3D1%2C%20profit%20%3D%20ratio%2F2%0A%20%20%20%20%23%20But%20it's%20more%20informative%20to%20show%20profit%20%3D%20sigma_v%20*%20sigma_u%20%2F%202%0A%20%20%20%20%23%20with%20sigma_u%20%3D%201%20as%20a%20baseline%0A%20%20%20%20_profits%20%3D%20_ratios%20%2F%202%20%20%23%20normalized%3A%20sigma_u%20%3D%201%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_v%20%2F%20sigma_u%22%3A%20np.concatenate(%5B_ratios%2C%20_ratios%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%22%3A%20np.concatenate(%5B_lambdas%2C%20_profits%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Quantity%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22lambda%20(price%20impact)%22%5D%20*%20len(_ratios)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22E%5Bprofit%5D%20(sigma_u%20%3D%201)%22%5D%20*%20len(_ratios)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22sigma_v%20%2F%20sigma_u%3AQ%22%2C%20title%3D%22Signal-to-noise%20ratio%20(sigma_v%20%2F%20sigma_u)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Quantity%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22lambda%20(price%20impact)%22%2C%20%22E%5Bprofit%5D%20(sigma_u%20%3D%201)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%235C6BC0%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D520%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Lambda%20and%20expected%20profit%20vs%20signal-to-noise%20ratio%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20centered_fig(_chart)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Both%20%24%5Clambda%24%20and%20%24E%5B%5Ctext%7Bprofit%7D%5D%24%20are%20**linear**%20in%20the%20signal-to-noise%0A%20%20%20%20ratio%20%24%5Csigma_v%20%2F%20%5Csigma_u%24%20(holding%20%24%5Csigma_u%24%20fixed).%20This%20is%20a%20direct%0A%20%20%20%20consequence%20of%20the%20linear%20equilibrium%20%E2%80%94%20nothing%20fancy%2C%20just%20algebra.%20The%0A%20%20%20%20insider's%20profit%20scales%20directly%20with%20how%20informative%20the%20order%20flow%20is.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Order%20Flow%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20This%20section%20simulates%20the%20Kyle%20equilibrium%20round%20by%20round.%20In%20each%20round%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Nature%20draws%20%24V%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmu%2C%20%5Csigma_v%5E2)%24%0A%20%20%20%202.%20The%20insider%20observes%20%24V%24%20and%20trades%20%24x%20%3D%20%5Cbeta(V%20-%20%5Cmu)%24%0A%20%20%20%203.%20Noise%20traders%20contribute%20%24u%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%20%5Csigma_u%5E2)%24%0A%20%20%20%204.%20The%20market%20maker%20sees%20total%20flow%20%24y%20%3D%20x%20%2B%20u%24%20and%20sets%20%24P%20%3D%20%5Cmu%20%2B%20%5Clambda%20y%24%0A%20%20%20%205.%20The%20insider%20earns%20%24%5Ctext%7Bprofit%7D%20%3D%20x%20%5Ccdot%20(V%20-%20P)%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**scatter%20plot**%20shows%20%24(y%2C%20P)%24%20pairs%20%E2%80%94%20they%20should%20line%20up%20along%20the%0A%20%20%20%20pricing%20rule%20%24P%20%3D%20%5Cmu%20%2B%20%5Clambda%20y%24.%20The%20**histogram**%20compares%20realized%0A%20%20%20%20profit%20per%20round%20against%20the%20theoretical%20%24E%5B%5Ctext%7Bprofit%7D%5D%20%3D%20%5Csigma_v%20%5Csigma_u%20%2F%202%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_rounds_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050%2C%205000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20rounds%20(Monte%20Carlo)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mu_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050.0%2C%20150.0%2C%20value%3D100.0%2C%20step%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22mu%20(prior%20mean%20of%20V)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_rounds_slider%2C%20mu_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20mu_slider%2C%20n_rounds_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20centered_fig%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mu_slider%2C%0A%20%20%20%20n_rounds_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20sigma_u_slider%2C%0A%20%20%20%20sigma_v_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_sv%20%3D%20sigma_v_slider.value%0A%20%20%20%20_su%20%3D%20sigma_u_slider.value%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20mu_slider.value%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20n_rounds_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_lam%20%3D%20_sv%20%2F%20(2%20*%20_su)%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20_su%20%2F%20_sv%0A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20_rng.normal(_mu%2C%20_sv%2C%20_n)%0A%20%20%20%20_u%20%3D%20_rng.normal(0%2C%20_su%2C%20_n)%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20_beta%20*%20(_V%20-%20_mu)%0A%20%20%20%20_y%20%3D%20_x%20%2B%20_u%0A%20%20%20%20_P%20%3D%20_mu%20%2B%20_lam%20*%20_y%0A%20%20%20%20_profit%20%3D%20_x%20*%20(_V%20-%20_P)%0A%0A%20%20%20%20_theoretical_profit%20%3D%20_sv%20*%20_su%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Scatter%3A%20(y%2C%20P)%0A%20%20%20%20_scatter_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Total%20order%20flow%20(y)%22%3A%20_y%2C%20%22Price%20(P)%22%3A%20_P%7D)%0A%0A%20%20%20%20_scatter%20%3D%20alt.Chart(_scatter_df).mark_circle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D8%2C%20opacity%3D0.3%2C%20color%3D%22%235C6BC0%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Total%20order%20flow%20(y)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20(P)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22Total%20order%20flow%20(y)%3AQ%22%2C%20%22Price%20(P)%3AQ%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pricing%20rule%20line%0A%20%20%20%20_y_range%20%3D%20np.array(%5B_y.min()%2C%20_y.max()%5D)%0A%20%20%20%20_p_line%20%3D%20_mu%20%2B%20_lam%20*%20_y_range%0A%20%20%20%20_line_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Total%20order%20flow%20(y)%22%3A%20_y_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20(P)%22%3A%20_p_line%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_rule%20%3D%20alt.Chart(_line_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23E57373%22%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20strokeDash%3D%5B6%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22Total%20order%20flow%20(y)%3AQ%22%2C%20y%3D%22Price%20(P)%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_scatter_chart%20%3D%20(_scatter%20%2B%20_rule).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D480%2C%20height%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Pricing%20rule%3A%20P%20%3D%20%7B_mu%3A.0f%7D%20%2B%20%7B_lam%3A.4f%7D%20*%20y%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Histogram%3A%20insider%20profit%0A%20%20%20%20_hist_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Insider%20profit%20per%20round%22%3A%20_profit%7D)%0A%20%20%20%20_hist%20%3D%20alt.Chart(_hist_df).mark_bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2366BB6A%22%2C%20opacity%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Insider%20profit%20per%20round%3AQ%22%2C%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D50))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22count()%3AQ%22%2C%20title%3D%22Frequency%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_theo_line_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_theoretical_profit%2C%20_theoretical_profit%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20%5B0%2C%20_n%20%2F%208%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_theo_rule%20%3D%20alt.Chart(_theo_line_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23E57373%22%2C%20strokeWidth%3D2%2C%20strokeDash%3D%5B6%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22)%2C%20y%3Dalt.Y(%22y%3AQ%22))%0A%0A%20%20%20%20_hist_chart%20%3D%20(_hist%20%2B%20_theo_rule).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D480%2C%20height%3D250%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Insider%20profit%20distribution%20(red%20dashed%20%3D%20E%5Bprofit%5D%20%3D%20%7B_theoretical_profit%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_mean_profit%20%3D%20float(np.mean(_profit))%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_scatter_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_hist_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Simulation%20results**%20(%7B_n%3A%2C%7D%20rounds)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Mean%20realized%20profit%3A%20**%7B_mean_profit%3A.3f%7D**%20vs%20theoretical%20E%5Bprofit%5D%20%3D%20**%7B_theoretical_profit%3A.2f%7D**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20scatter%20confirms%20the%20linear%20pricing%20rule%20%E2%80%94%20all%20points%20cluster%20along%20%24P%20%3D%20%5C%5Cmu%20%2B%20%5C%5Clambda%20y%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20histogram%20shows%20insider%20profit%20is%20centered%20near%20the%20theoretical%20expectation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Positive%20skew%20comes%20from%20rounds%20where%20the%20insider's%20information%20advantage%20was%20large.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Linear%20vs%20AMM%20Price%20Impact%0A%0A%20%20%20%20Kyle's%20model%20predicts%20**linear**%20price%20impact%3A%20%24%5CDelta%20P%20%3D%20%5Clambda%20%5Ccdot%20%5CDelta%20x%24.%0A%20%20%20%20A%20constant-product%20AMM%20produces%20**convex**%20impact%3A%20small%20trades%20feel%20roughly%0A%20%20%20%20linear%2C%20but%20large%20trades%20face%20rapidly%20increasing%20cost%20as%20they%20drain%20one%20side%0A%20%20%20%20of%20the%20pool.%0A%0A%20%20%20%20This%20section%20overlays%20both%20impact%20curves%20so%20you%20can%20see%20where%20they%20diverge.%0A%20%20%20%20The%20AMM%20effective%20price%20for%20buying%20%24%5CDelta%20x%24%20from%20a%20pool%20with%20reserves%0A%20%20%20%20%24(R_x%2C%20R_y)%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%5E%7B%5Ctext%7BAMM%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BR_y%7D%7BR_x%20-%20%5CDelta%20x%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20while%20the%20marginal%20(pre-trade)%20price%20is%20%24P_0%20%3D%20R_y%20%2F%20R_x%24.%20The%20price%0A%20%20%20%20impact%20is%20%24P_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%20-%20P_0%24.%0A%0A%20%20%20%20Kyle's%20linear%20impact%20is%20simply%20%24%5Clambda%20%5Ccdot%20%5CDelta%20x%24%2C%20calibrated%20from%0A%20%20%20%20the%20sliders%20in%20Section%201.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20rx_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%2010000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22R_x%20(AMM%20token%20X%20reserve)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ry_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%2010000%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22R_y%20(AMM%20token%20Y%20reserve)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20max_trade_pct%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%2080%2C%20value%3D40%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Max%20trade%20size%20(%25%20of%20R_x)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Brx_slider%2C%20ry_slider%2C%20max_trade_pct%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20max_trade_pct%2C%20rx_slider%2C%20ry_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20centered_fig%2C%0A%20%20%20%20max_trade_pct%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20rx_slider%2C%0A%20%20%20%20ry_slider%2C%0A%20%20%20%20sigma_u_slider%2C%0A%20%20%20%20sigma_v_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_rx%20%3D%20rx_slider.value%0A%20%20%20%20_ry%20%3D%20ry_slider.value%0A%20%20%20%20_p0%20%3D%20_ry%20%2F%20_rx%0A%20%20%20%20_sv%20%3D%20sigma_v_slider.value%0A%20%20%20%20_su%20%3D%20sigma_u_slider.value%0A%20%20%20%20_lam%20%3D%20_sv%20%2F%20(2%20*%20_su)%0A%0A%20%20%20%20_max_dx%20%3D%20_rx%20*%20max_trade_pct.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_dxs%20%3D%20np.linspace(0.1%2C%20_max_dx%2C%20300)%0A%0A%20%20%20%20%23%20AMM%20impact%3A%20P_eff%20-%20P_0%0A%20%20%20%20_p_eff_amm%20%3D%20_ry%20%2F%20(_rx%20-%20_dxs)%0A%20%20%20%20_impact_amm%20%3D%20_p_eff_amm%20-%20_p0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Kyle%20linear%20impact%3A%20lambda%20*%20dx%0A%20%20%20%20_impact_kyle%20%3D%20_lam%20*%20_dxs%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%20size%20(dx)%22%3A%20np.concatenate(%5B_dxs%2C%20_dxs%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20impact%20(dP)%22%3A%20np.concatenate(%5B_impact_amm%2C%20_impact_kyle%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Model%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Constant-product%20AMM%22%5D%20*%20len(_dxs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Kyle%20linear%22%5D%20*%20len(_dxs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%20size%20(dx)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20size%20(delta_x)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20impact%20(dP)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20impact%20(delta_P)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Model%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Constant-product%20AMM%22%2C%20%22Kyle%20linear%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Model%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Constant-product%20AMM%22%2C%20%22Kyle%20linear%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D520%2C%20height%3D320%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Price%20impact%3A%20AMM%20(R_x%3D%7B_rx%7D%2C%20R_y%3D%7B_ry%7D)%20vs%20Kyle%20(lambda%3D%7B_lam%3A.4f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Find%20crossover%20point%20(where%20AMM%20impact%20%3D%20Kyle%20impact)%0A%20%20%20%20_cross_mask%20%3D%20np.abs(_impact_amm%20-%20_impact_kyle)%0A%20%20%20%20_cross_idx%20%3D%20np.argmin(_cross_mask)%0A%20%20%20%20_cross_dx%20%3D%20_dxs%5B_cross_idx%5D%0A%20%20%20%20_cross_impact%20%3D%20_impact_kyle%5B_cross_idx%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Check%20if%20AMM%20starts%20above%20or%20below%20Kyle%20at%20the%20smallest%20trade%0A%20%20%20%20_amm_starts_above%20%3D%20_impact_amm%5B0%5D%20%3E%20_impact_kyle%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Comparing%20the%20two%20models%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7C%20Kyle%20(linear)%20%7C%20Constant-product%20AMM%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Impact%20formula%20%7C%20%24%5C%5Clambda%20%5C%5Ccdot%20%5C%5CDelta%20x%24%20%7C%20%24R_y%20%2F%20(R_x%20-%20%5C%5CDelta%20x)%20-%20R_y%20%2F%20R_x%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Shape%20%7C%20Linear%20(constant%20slope)%20%7C%20Convex%20(accelerating)%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Marginal%20price%20%24P_0%24%20%7C%20%24%5C%5Cmu%20%2B%20%5C%5Clambda%20y%24%20(endogenous)%20%7C%20%24R_y%20%2F%20R_x%24%20%3D%20**%7B_p0%3A.4f%7D**%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Clambda%24%20%7C%20**%7B_lam%3A.4f%7D**%20(from%20%24%5C%5Csigma_v%2C%20%5C%5Csigma_u%24)%20%7C%20Implicit%2C%20varies%20with%20trade%20size%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22The%20crossover%20occurs%20around%20%24%5C%5CDelta%20x%24%20%3D%20**%22%20%2B%20f%22%7B_cross_dx%3A.1f%7D%22%20%2B%20%22**.%20%22%20if%200%20%3C%20_cross_idx%20%3C%20len(_dxs)%20-%201%20else%20%22%22%7DFor%20small%20trades%2C%20the%20AMM's%20impact%20is%20approximately%20linear%20(resembling%20Kyle).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20large%20trades%2C%20the%20AMM's%20convex%20curve%20diverges%20sharply%20upward%20%E2%80%94%20a%20natural%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defense%20against%20informed%20trading%2C%20but%20also%20a%20penalty%20for%20large%20uninformed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20liquidity%20needs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Key%20insight%20from%20Kyle%3A**%20a%20rational%20market%20maker%20with%20%24%5C%5Clambda%24%20offers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*uniform*%20linear%20impact%20regardless%20of%20trade%20size.%20The%20AMM%2C%20by%20contrast%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*over-penalizes*%20large%20trades%20and%20*under-penalizes*%20small%20ones%20relative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20to%20the%20information-theoretic%20optimum.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20centered_fig(fig)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20html%20%3D%20mo.as_html(fig).text%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bjustify-content%3Acenter%3Bmargin-top%3A1.5rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bhtml%7D%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(centered_fig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A