Options Payoffs, Straddles & the Greeks

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Options%20Payoffs%2C%20Straddles%20%26%20the%20Greeks%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Options%20Payoffs%2C%20Straddles%20%26%20the%20Greeks%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20builds%20options%20intuition%20from%20scratch%3A%20what%20calls%20and%20puts%0A%20%20%20%20pay%20off%2C%20how%20combining%20them%20creates%20straddles%2C%20and%20how%20delta%20and%20gamma%0A%20%20%20%20measure%20an%20option's%20sensitivity%20to%20price%20changes.%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%20%20%20%201.%20Call%20%26%20put%20payoffs%20%E2%80%94%20the%20hockey%20sticks%0A%20%20%20%202.%20The%20straddle%20%E2%80%94%20betting%20on%20movement%0A%20%20%20%203.%20Delta%20%26%20gamma%20%E2%80%94%20how%20options%20respond%20to%20price%20changes%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Call%20%26%20Put%20Payoffs%0A%0A%20%20%20%20An%20**option**%20gives%20you%20the%20right%20(not%20the%20obligation)%20to%20buy%20or%20sell%20at%20a%0A%20%20%20%20fixed%20**strike%20price**%20%24K%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Call**%3A%20right%20to%20**buy**%20at%20%24K%24.%20Payoff%20%24%3D%20%5Cmax(S_T%20-%20K%2C%20%5C%3B%200)%24.%0A%20%20%20%20-%20**Put**%3A%20right%20to%20**sell**%20at%20%24K%24.%20Payoff%20%24%3D%20%5Cmax(K%20-%20S_T%2C%20%5C%3B%200)%24.%0A%0A%20%20%20%20Where%20%24S_T%24%20is%20the%20price%20at%20expiration.%20The%20%24%5Cmax(%5Cldots%2C%200)%24%20means%20you%0A%20%20%20%20simply%20don't%20exercise%20if%20it's%20not%20worth%20it%20%E2%80%94%20your%20downside%20is%20zero%20(you%20only%0A%20%20%20%20lose%20the%20premium%20you%20paid).%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20adjust%20the%20strike%20and%20premium%20below%20to%20see%20how%20the%20payoff%20and%0A%20%20%20%20profit%20diagrams%20change.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20strike_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050%2C%20150%2C%20value%3D100%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Strike%20price%20K%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20premium_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%2030%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Premium%20paid%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bstrike_slider%2C%20premium_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20premium_slider%2C%20strike_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20premium_slider%2C%20strike_slider)%3A%0A%20%20%20%20_K%20%3D%20strike_slider.value%0A%20%20%20%20_prem%20%3D%20premium_slider.value%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20np.linspace(20%2C%20200%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_call_payoff%20%3D%20np.maximum(_S%20-%20_K%2C%200)%0A%20%20%20%20_put_payoff%20%3D%20np.maximum(_K%20-%20_S%2C%200)%0A%20%20%20%20_call_profit%20%3D%20_call_payoff%20-%20_prem%0A%20%20%20%20_put_profit%20%3D%20_put_payoff%20-%20_prem%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20at%20Expiration%20(S_T)%22%3A%20np.tile(_S%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%22%3A%20np.concatenate(%5B_call_payoff%2C%20_put_payoff%2C%20_call_profit%2C%20_put_profit%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Curve%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Call%20payoff%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Put%20payoff%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Call%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Put%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20at%20Expiration%20(S_T)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B20%2C%20200%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%3AQ%22%2C%20title%3D%22Value%20(%24)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Call%20payoff%22%2C%20%22Put%20payoff%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Call%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Put%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%2C%20%22%2393c5fd%22%2C%20%22%23fca5a5%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Curve%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Call%20payoff%22%2C%20%22Put%20payoff%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Call%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Put%20profit%20(payoff%20-%20premium)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%5D%2C%20%5B1%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%2C%20%5B6%2C%204%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_strike_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5Bfloat(_K)%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20strokeDash%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_strike_label%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5Bfloat(_K)%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5Bmax(_call_payoff)%20*%200.9%5D%2C%20%22text%22%3A%20%5Bf%22K%20%3D%20%7B_K%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_text(align%3D%22left%22%2C%20dx%3D5%2C%20fontSize%3D12%2C%20color%3D%22%236b7280%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22text%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_zero%20%2B%20_strike_line%20%2B%20_strike_label).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Option%20Payoffs%20%26%20Profits%20(K%3D%7B_K%7D%2C%20premium%3D%7B_prem%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20to%20notice%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20**Call%20payoff**%20(solid%20blue)%3A%20flat%20at%20zero%20below%20the%20strike%2C%20rises%20linearly%20above%20it.%0A%20%20%20%20%20%20This%20is%20the%20%22hockey%20stick.%22%0A%20%20%20%20-%20**Put%20payoff**%20(solid%20red)%3A%20the%20mirror%20image%20%E2%80%94%20rises%20below%20the%20strike.%0A%20%20%20%20-%20**Profit%20lines**%20(dashed)%3A%20shifted%20down%20by%20the%20premium.%20You%20need%20the%20price%20to%20move%0A%20%20%20%20%20%20past%20%24K%20%5Cpm%20%5Ctext%7Bpremium%7D%24%20to%20break%20even.%0A%20%20%20%20-%20The%20**buyer's**%20maximum%20loss%20is%20the%20premium.%20The%20**seller's**%20maximum%20loss%20is%20unlimited%0A%20%20%20%20%20%20(for%20calls)%20%E2%80%94%20the%20seller's%20profit%20line%20is%20these%20curves%20flipped%20upside%20down.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20The%20Straddle%3A%20Betting%20on%20Movement%0A%0A%20%20%20%20A%20**straddle**%20combines%20a%20call%20and%20a%20put%20at%20the%20same%20strike%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BStraddle%20payoff%7D%20%3D%20%7CS_T%20-%20K%7C%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20buyer%20profits%20from%20any%20large%20move.%20The%20**seller**%20(short%20straddle)%0A%20%20%20%20collects%20premiums%20and%20profits%20when%20the%20price%20stays%20near%20%24K%24.%0A%0A%20%20%20%20Below%3A%20the%20**short%20straddle**%20P%26L.%20Notice%20the%20shape%20%E2%80%94%20it's%20an%20inverted%20V.%0A%20%20%20%20The%20seller%20keeps%20the%20premium%20if%20%24S_T%24%20stays%20near%20%24K%24%2C%20but%20loses%20linearly%20as%0A%20%20%20%20%24S_T%24%20moves%20away.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20straddle_K%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2050%2C%20150%2C%20value%3D100%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Strike%20K%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20straddle_prem%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%2050%2C%20value%3D20%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Total%20premium%20collected%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bstraddle_K%2C%20straddle_prem%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20straddle_K%2C%20straddle_prem%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20straddle_K%2C%20straddle_prem)%3A%0A%20%20%20%20_K%20%3D%20straddle_K.value%0A%20%20%20%20_prem%20%3D%20straddle_prem.value%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20np.linspace(20%2C%20200%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_long_pnl%20%3D%20np.abs(_S%20-%20_K)%20-%20_prem%0A%20%20%20%20_short_pnl%20%3D%20_prem%20-%20np.abs(_S%20-%20_K)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20at%20Expiration%20(S_T)%22%3A%20np.tile(_S%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22P%26L%20(%24)%22%3A%20np.concatenate(%5B_long_pnl%2C%20_short_pnl%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Position%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Long%20straddle%20(buyer)%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5B%22Short%20straddle%20(seller)%22%5D%20*%20len(_S)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Price%20at%20Expiration%20(S_T)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B20%2C%20200%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22P%26L%20(%24)%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Position%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Long%20straddle%20(buyer)%22%2C%20%22Short%20straddle%20(seller)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_zero%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B0%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_strike_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5Bfloat(_K)%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20strokeDash%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_be1%20%3D%20float(_K%20-%20_prem)%0A%20%20%20%20_be2%20%3D%20float(_K%20%2B%20_prem)%0A%20%20%20%20_be_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5B_be1%2C%20_be2%5D%2C%20%22label%22%3A%20%5Bf%22BE%3A%20%7B_be1%3A.0f%7D%22%2C%20f%22BE%3A%20%7B_be2%3A.0f%7D%22%5D%7D)%0A%20%20%20%20_be_lines%20%3D%20alt.Chart(_be_df).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23059669%22%2C%20strokeDash%3D%5B3%2C%203%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%20%20%20%20_be_labels%20%3D%20alt.Chart(_be_df).mark_text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dy%3D-10%2C%20fontSize%3D11%2C%20color%3D%22%23059669%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20text%3D%22label%3AN%22)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_zero%20%2B%20_strike_line%20%2B%20_be_lines%20%2B%20_be_labels).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Straddle%20P%26L%20(K%3D%7B_K%7D%2C%20premium%3D%7B_prem%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Key%20observations%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**short%20straddle**%20(red)%20has%20maximum%20profit%20at%20%24S_T%20%3D%20K%24%20(price%20stays%20put).%0A%20%20%20%20-%20Break-even%20points%20(green%20dashed)%20are%20at%20%24K%20%5Cpm%20%5Ctext%7Bpremium%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20Beyond%20the%20break-evens%2C%20the%20short%20straddle%20loses%20%E2%80%94%20and%20the%20loss%20is%20**unbounded**.%0A%20%20%20%20-%20The%20shape%20is%20symmetric%20around%20the%20strike%20%E2%80%94%20any%20move%20of%20a%20given%20magnitude%20costs%20the%20seller%20the%20same%2C%20regardless%20of%20direction.%0A%20%20%20%20-%20The%20seller%20is%20betting%3A%20%22the%20price%20won't%20move%20much.%22%20They%20profit%20when%20realized%20volatility%20is%20below%20the%20implied%20volatility%20embedded%20in%20the%20premium.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Delta%20%26%20Gamma%0A%0A%20%20%20%20**Delta**%20(%24%5CDelta%24)%20measures%20how%20much%20the%20option's%20value%20changes%20when%20the%0A%20%20%20%20underlying%20moves%20%5C%241.%20**Gamma**%20(%24%5CGamma%24)%20measures%20how%20fast%20delta%20itself%0A%20%20%20%20changes%20%E2%80%94%20it's%20the%20curvature.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20Black-Scholes%20call%20with%20strike%20%24K%24%2C%20time%20to%20expiry%20%24T%24%2C%20and%0A%20%20%20%20volatility%20%24%5Csigma%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta_%7B%5Ctext%7Bcall%7D%7D%20%3D%20%5CPhi(d_1)%2C%20%5Cqquad%20%5CGamma%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cphi(d_1)%7D%7BS%20%5Csigma%20%5Csqrt%7BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5CPhi%24%20is%20the%20cumulative%20normal%20distribution%20(the%20S-shaped%20curve%20that%0A%20%20%20%20goes%20from%200%20to%201)%20and%20%24%5Cphi%24%20is%20its%20density%20(the%20bell%20curve).%0A%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20move%20the%20price%20slider%20and%20watch%20delta%20change.%20Gamma%20is%20highest%0A%20%20%20%20at-the-money%20(where%20delta%20is%20changing%20fastest).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20greek_vol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20100%2C%20value%3D30%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Volatility%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20greek_T%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%201.0%2C%20value%3D0.25%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Time%20to%20expiry%20(years)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bgreek_vol%2C%20greek_T%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20greek_T%2C%20greek_vol%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20greek_T%2C%20greek_vol%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_K%20%3D%20100.0%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20greek_vol.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_T%20%3D%20greek_T.value%0A%20%20%20%20_r%20%3D%200.05%0A%20%20%20%20_S%20%3D%20np.linspace(50%2C%20150%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_d1%20%3D%20(np.log(_S%20%2F%20_K)%20%2B%20(_r%20%2B%200.5%20*%20_sigma**2)%20*%20_T)%20%2F%20(_sigma%20*%20np.sqrt(_T))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normal%20CDF%20and%20PDF%20using%20stdlib%20math.erf%20(no%20scipy%20needed)%0A%20%20%20%20import%20math%20as%20_math%0A%20%20%20%20def%20_norm_cdf(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20(1%20%2B%20np.vectorize(_math.erf)(x%20%2F%20np.sqrt(2)))%0A%0A%20%20%20%20def%20_norm_pdf(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(-0.5%20*%20x**2)%20%2F%20np.sqrt(2%20*%20np.pi)%0A%0A%20%20%20%20_delta%20%3D%20_norm_cdf(_d1)%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20_norm_pdf(_d1)%20%2F%20(_S%20*%20_sigma%20*%20np.sqrt(_T))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normalize%20gamma%20to%20fit%20on%20same%20y-axis%20as%20delta%0A%20%20%20%20_gamma_scaled%20%3D%20_gamma%20%2F%20_gamma.max()%20if%20_gamma.max()%20%3E%200%20else%20_gamma%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Underlying%20Price%20(S)%22%3A%20np.tile(_S%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%22%3A%20np.concatenate(%5B_delta%2C%20_gamma_scaled%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Greek%22%3A%20%5B%22Delta%20(%CE%94)%22%5D%20*%20len(_S)%20%2B%20%5B%22Gamma%20(%CE%93%2C%20normalized)%22%5D%20*%20len(_S)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Underlying%20Price%20(S)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B50%2C%20150%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%3AQ%22%2C%20title%3D%22Value%20(delta%3A%200%20to%201%2C%20gamma%3A%20normalized)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Greek%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Delta%20(%CE%94)%22%2C%20%22Gamma%20(%CE%93%2C%20normalized)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_strike_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5B_K%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%236b7280%22%2C%20strokeDash%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_label%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20%5B_K%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5B1.05%5D%2C%20%22text%22%3A%20%5Bf%22K%20%3D%20%7B_K%3A.0f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)).mark_text(align%3D%22left%22%2C%20dx%3D5%2C%20fontSize%3D12%2C%20color%3D%22%236b7280%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22%2C%20text%3D%22text%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20(_chart%20%2B%20_strike_line%20%2B%20_label).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Call%20Delta%20%26%20Gamma%20(%CF%83%3D%7B_sigma%3A.0%25%7D%2C%20T%3D%7B_T%3A.2f%7Dy)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20to%20notice%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20**Delta**%20(blue)%20is%20an%20S-curve%20from%200%20to%201.%20At-the-money%20(%24S%20%3D%20K%24)%2C%20%24%5CDelta%20%5Capprox%200.5%24.%0A%20%20%20%20%20%20Deep%20in-the-money%20%E2%86%92%20%24%5CDelta%20%5Capprox%201%24.%20Deep%20out-of-the-money%20%E2%86%92%20%24%5CDelta%20%5Capprox%200%24.%0A%20%20%20%20-%20**Gamma**%20(red)%20is%20a%20bell%20curve%2C%20peaking%20at%20%24S%20%3D%20K%24.%20This%20is%20where%20delta%20is%20changing%0A%20%20%20%20%20%20fastest%20%E2%80%94%20the%20option%20is%20most%20sensitive%20to%20price%20changes.%0A%20%20%20%20-%20**Increase%20volatility**%20%E2%86%92%20the%20delta%20curve%20flattens%20(becomes%20less%20step-like)%2C%20and%20gamma%0A%20%20%20%20%20%20spreads%20out.%20High%20vol%20means%20ATM%20options%20behave%20more%20like%2050%2F50%20bets.%0A%20%20%20%20-%20**Decrease%20time%20to%20expiry**%20%E2%86%92%20the%20delta%20curve%20steepens%20(approaches%20a%20step%20function)%2C%0A%20%20%20%20%20%20and%20gamma%20becomes%20a%20sharp%20spike%20at%20%24K%24.%20Near%20expiry%2C%20ATM%20options%20are%20extremely%0A%20%20%20%20%20%20sensitive%20to%20small%20price%20changes.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20gamma%20matters%20for%20P%26L%0A%0A%20%20%20%20If%20you're%20**short%20gamma**%20(you%20sold%20options)%2C%20your%20P%26L%20from%20a%20price%20move%20%24%5CDelta%20S%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BP%5C%26L%7D%20%5Capprox%20%5Ctfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5CGamma%20%5Ccdot%20(%5CDelta%20S)%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20short%20position%2C%20%24%5CGamma%20%3C%200%24%2C%20so%20**any%20move%20costs%20you**%2C%20and%20the%20cost%20is%0A%20%20%20%20**quadratic**%20%E2%80%94%20double%20the%20move%2C%204%C3%97%20the%20loss.%20This%20is%20why%20option%20sellers%20(short%20gamma)%0A%20%20%20%20lose%20to%20large%20price%20moves%20%E2%80%94%20and%20why%20their%20losses%20accelerate.%20See%20%5B%5Bthe-greeks%5D%5D%20for%0A%20%20%20%20the%20full%20Greek%20framework.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A