Spread Decomposition: Huang-Stoll

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Spread%20Decomposition%3A%20Huang-Stoll%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20sp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20centered_fig(fig)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20html%20%3D%20mo.as_html(fig).text%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bjustify-content%3Acenter%3Bmargin-top%3A1.5rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bhtml%7D%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(centered_fig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20symbols%20used%20throughout%20the%20notebook%0A%20%20%20%20_alpha%2C%20_beta%2C%20_s%20%3D%20sp.symbols(r%22%5Calpha%20%5Cbeta%20s%22)%0A%20%20%20%20_half_s%20%3D%20_s%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_adverse%20%3D%20_alpha%20*%20_half_s%0A%20%20%20%20_inventory%20%3D%20_beta%20*%20_half_s%0A%20%20%20%20_order_proc%20%3D%20(1%20-%20_alpha%20-%20_beta)%20*%20_half_s%0A%0A%20%20%20%20_decomp_eq%20%3D%20sp.Eq(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_half_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sp.UnevaluatedExpr(_adverse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20sp.UnevaluatedExpr(_inventory)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20sp.UnevaluatedExpr(_order_proc)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spread%20Decomposition%3A%20Huang-Stoll%20(1997)%0A%0A%20%20%20%20Every%20bid-ask%20spread%20bundles%20three%20distinct%20costs.%20Huang%20and%20Stoll%20(1997)%0A%20%20%20%20built%20an%20empirical%20framework%20to%20decompose%20the%20observed%20spread%20into%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Adverse%20selection**%20(%24%5C%5Calpha%24)%20--%20permanent%20price%20impact%20from%20informed%20trades%0A%20%20%20%202.%20**Inventory%20risk**%20(%24%5C%5Cbeta%24)%20--%20transient%20impact%20from%20the%20market%20maker%20managing%20position%0A%20%20%20%203.%20**Order%20processing**%20(%241%20-%20%5C%5Calpha%20-%20%5C%5Cbeta%24)%20--%20operational%20cost%20of%20running%20the%20business%0A%0A%20%20%20%20The%20half-spread%20decomposes%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%7Bsp.latex(_decomp_eq)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20lets%20you%20visualize%20the%20decomposition%2C%20simulate%20trade%20data%20from%0A%20%20%20%20the%20model%2C%20and%20recover%20the%20parameters%20via%20OLS%20regression.%0A%0A%20%20%20%20Companion%20note%3A%0A%20%20%20%20%5BSpread%20Decomposition%5D(..%2F..%2F2%2520-%2520Areas%2FFinance%2Fmarket-microstructure%2Fspread-decomposition.md)%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%20%20%20%201.%20Component%20visualizer%20--%20stacked%20bar%20chart%20of%20the%20three-way%20split%0A%20%20%20%202.%20Simulated%20trade%20sequence%20--%20synthetic%20tick%20data%20from%20the%20Huang-Stoll%20model%0A%20%20%20%203.%20OLS%20estimation%20recovery%20--%20regress%20on%20simulated%20data%20and%20compare%20to%20true%20values%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Component%20Visualizer%0A%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20sliders%20to%20see%20how%20the%20half-spread%20breaks%20down%20into%20its%20three%0A%20%20%20%20components.%20The%20constraint%20%24%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%20%5Cleq%201%24%20is%20enforced%0A%20%20%20%20automatically%20--%20%24%5Cbeta%24%20cannot%20exceed%20%241%20-%20%5Calpha%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20alpha_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%201.0%2C%20value%3D0.40%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22alpha%20(adverse%20selection%20fraction)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20spread_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%2050.0%2C%20value%3D10.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22s%20(observed%20spread%2C%20cents)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Balpha_slider%2C%20spread_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20alpha_slider%2C%20spread_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alpha_slider%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_max_beta%20%3D%20round(1.0%20-%20alpha_slider.value%2C%202)%0A%20%20%20%20beta_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%20max(0.01%2C%20_max_beta)%2C%20value%3Dmin(0.30%2C%20_max_beta)%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22beta%20(inventory%20fraction)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bbeta_slider%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20(beta_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alpha_slider%2C%20alt%2C%20beta_slider%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20pd%2C%20sp%2C%20spread_slider)%3A%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20alpha_slider.value%0A%20%20%20%20_b%20%3D%20beta_slider.value%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20spread_slider.value%0A%20%20%20%20_half%20%3D%20_s%20%2F%202.0%0A%0A%20%20%20%20_adverse_val%20%3D%20_a%20*%20_half%0A%20%20%20%20_inventory_val%20%3D%20_b%20*%20_half%0A%20%20%20%20_order_proc_val%20%3D%20(1.0%20-%20_a%20-%20_b)%20*%20_half%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Component%22%3A%20%22Adverse%20selection%22%2C%20%22Cents%22%3A%20_adverse_val%2C%20%22Fraction%22%3A%20_a%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22order%22%3A%201%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Component%22%3A%20%22Inventory%20risk%22%2C%20%22Cents%22%3A%20_inventory_val%2C%20%22Fraction%22%3A%20_b%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22order%22%3A%202%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Component%22%3A%20%22Order%20processing%22%2C%20%22Cents%22%3A%20_order_proc_val%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fraction%22%3A%201.0%20-%20_a%20-%20_b%2C%20%22order%22%3A%203%7D%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20_bar%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_bar(size%3D60).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Cents%3AQ%22%2C%20title%3D%22Half-spread%20component%20(cents)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%20_half%20*%201.1%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Component%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sort%3D%5B%22Adverse%20selection%22%2C%20%22Inventory%20risk%22%2C%20%22Order%20processing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Component%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Adverse%20selection%22%2C%20%22Inventory%20risk%22%2C%20%22Order%20processing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23E57373%22%2C%20%22%235C6BC0%22%2C%20%22%2366BB6A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Component%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Cents%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22%2C%20title%3D%22cents%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Fraction%3AQ%22%2C%20format%3D%22.0%25%22%2C%20title%3D%22share%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D550%2C%20height%3D180%2C%20title%3D%22Half-Spread%20Decomposition%22)%0A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_text(dx%3D15%2C%20fontSize%3D13%2C%20fontWeight%3D%22bold%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Cents%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Component%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sort%3D%5B%22Adverse%20selection%22%2C%20%22Inventory%20risk%22%2C%20%22Order%20processing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Dalt.Text(%22Cents%3AQ%22%2C%20format%3D%22.2f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.value(%22%23333333%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sympy%20formulas%20for%20the%20decomposition%0A%20%20%20%20_alpha_sym%2C%20_beta_sym%2C%20_s_sym%20%3D%20sp.symbols(r%22%5Calpha%20%5Cbeta%20s%22)%0A%20%20%20%20_hs%20%3D%20_s_sym%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_formulas%20%3D%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Component%20%7C%20Formula%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C---------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Adverse%20selection%20%7C%20%24%5C%5Calpha%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%20%3D%20%7Bsp.latex(_alpha_sym%20*%20_hs)%7D%24%20%7C%20%7B_adverse_val%3A.2f%7D%20cents%20(%7B_a%3A.0%25%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Inventory%20risk%20%7C%20%24%5C%5Cbeta%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%20%3D%20%7Bsp.latex(_beta_sym%20*%20_hs)%7D%24%20%7C%20%7B_inventory_val%3A.2f%7D%20cents%20(%7B_b%3A.0%25%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Order%20processing%20%7C%20%24(1-%5C%5Calpha-%5C%5Cbeta)%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%20%3D%20%7Bsp.latex((1%20-%20_alpha_sym%20-%20_beta_sym)%20*%20_hs)%7D%24%20%7C%20%7B_order_proc_val%3A.2f%7D%20cents%20(%7B1-_a-_b%3A.0%25%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Total%20half-spread**%20%7C%20%24s%2F2%24%20%7C%20**%7B_half%3A.2f%7D%20cents**%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_bar%20%2B%20_text)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_formulas)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Simulated%20Trade%20Sequence%0A%0A%20%20%20%20The%20Huang-Stoll%20reduced%20form%20generates%20price%20changes%20directly%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta%20P_t%20%3D%20(%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20Q_t%20%5C%3B-%5C%3B%20%5Cbeta%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20Q_%7Bt-1%7D%20%5C%3B%2B%5C%3B%20%5Cepsilon_t%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20%24(%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta)%20%5Ccdot%20(s%2F2)%20%5Ccdot%20Q_t%24%20term%20is%20the%20**total%20impact**%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20current%20trade%20--%20both%20information%20(permanent)%20and%20inventory%20(transient).%0A%20%20%20%20-%20The%20%24-%5Cbeta%20%5Ccdot%20(s%2F2)%20%5Ccdot%20Q_%7Bt-1%7D%24%20term%20is%20the%20**inventory%20reversion**%20--%0A%20%20%20%20%20%20the%20maker%20adjusts%20quotes%20back%20after%20the%20previous%20trade's%20inventory%20shock.%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20transaction%20price%20%24P_t%24%20we%20extract%20the%20unobservable%20efficient%20price%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmu_t%20%3D%20P_t%20-%20%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20Q_t%24%24%0A%0A%20%20%20%20Trade%20directions%20%24Q_t%20%5Cin%20%5C%7B-1%2C%20%2B1%5C%7D%24%20are%20drawn%20i.i.d.%20with%20equal%20probability.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_alpha%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%200.80%2C%20value%3D0.40%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22alpha%20(adverse%20selection)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_beta%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%200.50%2C%20value%3D0.20%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22beta%20(inventory)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_spread%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%2C%2030.0%2C%20value%3D10.0%2C%20step%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22s%20(spread%2C%20cents)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_alpha%2C%20sim_beta%2C%20sim_spread%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20sim_alpha%2C%20sim_beta%2C%20sim_spread%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_n_trades%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%201000%2C%20value%3D500%2C%20step%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20trades%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%20100%2C%20value%3D42%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_n_trades%2C%20sim_seed%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20sim_n_trades%2C%20sim_seed%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np%2C%20sim_alpha%2C%20sim_beta%2C%20sim_n_trades%2C%20sim_seed%2C%20sim_spread)%3A%0A%20%20%20%20def%20simulate_huang_stoll(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_trades%3A%20int%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed%3A%20int%2C%0A%20%20%20%20)%20-%3E%20dict%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20half_s%20%3D%20spread%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_eps%20%3D%20half_s%20*%200.3%20%20%23%20noise%20scale%20for%20public%20info%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Trade%20directions%3A%20i.i.d.%20equally%20likely%20buy%2Fsell%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%20%3D%20rng.choice(%5B-1%2C%201%5D%2C%20size%3Dn_trades)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Price%20changes%20from%20the%20Huang-Stoll%20reduced%20form%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20dP_t%20%3D%20(alpha%2Bbeta)*(s%2F2)*Q_t%20-%20beta*(s%2F2)*Q_%7Bt-1%7D%20%2B%20eps_t%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%20%3D%20np.zeros(n_trades)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps%20%3D%20rng.normal(0%2C%20sigma_eps%2C%20size%3Dn_trades)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20t%20in%20range(1%2C%20n_trades)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bt%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(alpha%20%2B%20beta)%20*%20half_s%20*%20q%5Bt%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20beta%20*%20half_s%20*%20q%5Bt%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20eps%5Bt%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Cumulative%20price%20path%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p%20%3D%20100.0%20%2B%20np.cumsum(dp)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Extract%20efficient%20price%3A%20mu_t%20%3D%20P_t%20-%20(s%2F2)*Q_t%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu%20%3D%20p%20-%20half_s%20*%20q%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%22p%22%3A%20p%2C%20%22mu%22%3A%20mu%2C%20%22q%22%3A%20q%2C%20%22n%22%3A%20n_trades%7D%0A%0A%20%20%20%20sim_data%20%3D%20simulate_huang_stoll(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3Dsim_alpha.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta%3Dsim_beta.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%3Dsim_spread.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_trades%3Dsim_n_trades.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed%3Dsim_seed.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20sim_data%2C%20simulate_huang_stoll%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20centered_fig%2C%20mo%2C%20pd%2C%20sim_alpha%2C%20sim_beta%2C%20sim_data%2C%20sim_spread)%3A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20sim_data%5B%22n%22%5D%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20sim_data%5B%22p%22%5D%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20sim_data%5B%22mu%22%5D%0A%20%20%20%20_q%20%3D%20sim_data%5B%22q%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20dataframe%20for%20plotting%0A%20%20%20%20_price_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20list(range(_n))%20*%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20(cents)%22%3A%20list(_p)%20%2B%20list(_mu)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Series%22%3A%20%5B%22Transaction%20price%22%5D%20*%20_n%20%2B%20%5B%22Efficient%20price%22%5D%20*%20_n%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_price_df).mark_line(strokeWidth%3D1.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Trade%3AQ%22%2C%20title%3D%22Trade%20sequence%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%20(cents)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Price%20(cents)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Transaction%20price%22%2C%20%22Efficient%20price%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeDash%3Dalt.StrokeDash(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Transaction%20price%22%2C%20%22Efficient%20price%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B5%2C%203%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D700%2C%20height%3D350%2C%20title%3D%22Simulated%20Huang-Stoll%20Price%20Path%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Trade%20direction%20markers%3A%20small%20dots%20colored%20by%20buy%2Fsell%0A%20%20%20%20_dir_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Trade%22%3A%20range(_n)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%20(cents)%22%3A%20_p%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Direction%22%3A%20%5B%22Buy%22%20if%20qi%20%3D%3D%201%20else%20%22Sell%22%20for%20qi%20in%20_q%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_dir_points%20%3D%20alt.Chart(_dir_df).mark_circle(size%3D12%2C%20opacity%3D0.5).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Trade%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22Price%20(cents)%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Direction%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Buy%22%2C%20%22Sell%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%2366BB6A%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20sim_alpha.value%0A%20%20%20%20_b%20%3D%20sim_beta.value%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20sim_spread.value%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_price_chart%20%2B%20_dir_points)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20**solid%20blue%20line**%20is%20the%20transaction%20price%20%24P_t%24%20--%20what%20you%20actually%0A%20%20%20%20observe%20on%20the%20tape.%20The%20**dashed%20red%20line**%20is%20the%20efficient%20price%0A%20%20%20%20%24%5C%5Cmu_t%20%3D%20P_t%20-%20(s%2F2)%20%5C%5Ccdot%20Q_t%24%20--%20the%20unobservable%20true%20value.%20The%20gap%0A%20%20%20%20between%20them%20is%20the%20half-spread%20bounce.%0A%0A%20%20%20%20Green%2Fred%20dots%20mark%20buy%20(%24Q_t%20%3D%20%2B1%24)%20and%20sell%20(%24Q_t%20%3D%20-1%24)%20trades.%0A%0A%20%20%20%20With%20%24%5C%5Calpha%20%3D%20%7B_a%3A.2f%7D%24%2C%20each%20trade%20permanently%20shifts%20the%20efficient%20price%0A%20%20%20%20by%20%24%5C%5Calpha%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%20%3D%20%7B_a%20*%20_s%20%2F%202%3A.2f%7D%24%20cents%20(adverse%20selection).%0A%20%20%20%20With%20%24%5C%5Cbeta%20%3D%20%7B_b%3A.2f%7D%24%2C%20each%20trade%20also%20causes%20a%20transient%20quote%0A%20%20%20%20adjustment%20of%20%24%5C%5Cbeta%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%20%3D%20%7B_b%20*%20_s%20%2F%202%3A.2f%7D%24%20cents%20that%20reverts%0A%20%20%20%20on%20the%20next%20trade%20(inventory).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20_dp%2C%20_c1%2C%20_c2%2C%20_Qt%2C%20_Qt1%2C%20_eps%20%3D%20sp.symbols(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%5CDelta%7BP%7D_t%20c_1%20c_2%20Q_t%20Q_%7Bt-1%7D%20%5Cepsilon_t%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_reg_eq%20%3D%20sp.Eq(_dp%2C%20_c1%20*%20_Qt%20%2B%20_c2%20*%20_Qt1%20%2B%20_eps)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20OLS%20Estimation%20Recovery%0A%0A%20%20%20%20The%20Huang-Stoll%20model%20implies%20a%20regression%20on%20price%20changes%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%7Bsp.latex(_reg_eq)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%3A%0A%20%20%20%20-%20%24c_1%20%3D%20(%5C%5Calpha%20%2B%20%5C%5Cbeta)%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%24%20captures%20the%20total%20informative%0A%20%20%20%20%20%20component%20(adverse%20selection%20%2B%20inventory)%0A%20%20%20%20-%20%24c_2%20%3D%20-%5C%5Cbeta%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%24%20captures%20inventory%20reversion%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20estimated%20coefficients%20we%20recover%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20-c_2%20%5C%5C%2C%2F%5C%5C%2C%20(s%2F2)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Calpha%7D%7D%20%3D%20c_1%20%5C%5C%2C%2F%5C%5C%2C%20(s%2F2)%20-%20%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20slider%20below%20controls%20the%20sample%20size.%20More%20trades%20give%20tighter%0A%20%20%20%20estimates%20--%20watch%20%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Calpha%7D%7D%24%20and%20%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D%24%20converge%20to%0A%20%20%20%20the%20true%20values%20as%20%24N%24%20grows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20est_n_trades%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100%2C%201000%2C%20value%3D500%2C%20step%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sample%20size%20(N%20trades)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Best_n_trades%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20(est_n_trades%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alt%2C%0A%20%20%20%20centered_fig%2C%0A%20%20%20%20est_n_trades%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd%2C%0A%20%20%20%20sim_alpha%2C%0A%20%20%20%20sim_beta%2C%0A%20%20%20%20sim_seed%2C%0A%20%20%20%20sim_spread%2C%0A%20%20%20%20simulate_huang_stoll%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_a_true%20%3D%20sim_alpha.value%0A%20%20%20%20_b_true%20%3D%20sim_beta.value%0A%20%20%20%20_s%20%3D%20sim_spread.value%0A%20%20%20%20_half_s%20%3D%20_s%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20est_n_trades.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%20with%20the%20requested%20sample%20size%0A%20%20%20%20_sim%20%3D%20simulate_huang_stoll(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D_a_true%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta%3D_b_true%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spread%3D_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_trades%3D_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed%3Dsim_seed.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20_sim%5B%22p%22%5D%0A%20%20%20%20_q%20%3D%20_sim%5B%22q%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20OLS%20regression%3A%20dP_t%20%3D%20c1%20*%20Q_t%20%2B%20c2%20*%20Q_%7Bt-1%7D%20%2B%20eps%0A%20%20%20%20%23%20Use%20trades%201..N-1%20(need%20Q_%7Bt-1%7D)%0A%20%20%20%20_dp%20%3D%20np.diff(_p)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20length%20N-1%0A%20%20%20%20_qt%20%3D%20_q%5B1%3A%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Q_t%20for%20t%3D1..N-1%0A%20%20%20%20_qt_lag%20%3D%20_q%5B%3A-1%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Q_%7Bt-1%7D%20for%20t%3D1..N-1%0A%0A%20%20%20%20%23%20Design%20matrix%20%5BQ_t%2C%20Q_%7Bt-1%7D%5D%0A%20%20%20%20_X%20%3D%20np.column_stack(%5B_qt%2C%20_qt_lag%5D)%0A%20%20%20%20_y%20%3D%20_dp%0A%0A%20%20%20%20%23%20OLS%3A%20(X'X)%5E%7B-1%7D%20X'y%0A%20%20%20%20_XtX%20%3D%20_X.T%20%40%20_X%0A%20%20%20%20_Xty%20%3D%20_X.T%20%40%20_y%0A%20%20%20%20_coeffs%20%3D%20np.linalg.solve(_XtX%2C%20_Xty)%0A%20%20%20%20_c1_hat%20%3D%20_coeffs%5B0%5D%0A%20%20%20%20_c2_hat%20%3D%20_coeffs%5B1%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Recover%20parameters%0A%20%20%20%20_b_hat%20%3D%20-_c2_hat%20%2F%20_half_s%0A%20%20%20%20_a_hat%20%3D%20_c1_hat%20%2F%20_half_s%20-%20_b_hat%0A%20%20%20%20_op_hat%20%3D%201.0%20-%20_a_hat%20-%20_b_hat%0A%0A%20%20%20%20%23%20R-squared%0A%20%20%20%20_y_hat%20%3D%20_X%20%40%20_coeffs%0A%20%20%20%20_ss_res%20%3D%20np.sum((_y%20-%20_y_hat)%20**%202)%0A%20%20%20%20_ss_tot%20%3D%20np.sum((_y%20-%20np.mean(_y))%20**%202)%0A%20%20%20%20_r2%20%3D%201.0%20-%20_ss_res%20%2F%20_ss_tot%20if%20_ss_tot%20%3E%200%20else%200.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Comparison%20table%0A%20%20%20%20_comp_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Parameter%22%3A%20%5B%22alpha%20(adverse%20selection)%22%2C%20%22beta%20(inventory)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%221-alpha-beta%20(order%20processing)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22True%22%3A%20%5B_a_true%2C%20_b_true%2C%201.0%20-%20_a_true%20-%20_b_true%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Estimated%22%3A%20%5B_a_hat%2C%20_b_hat%2C%20_op_hat%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Error%22%3A%20%5B_a_hat%20-%20_a_true%2C%20_b_hat%20-%20_b_true%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_op_hat%20-%20(1.0%20-%20_a_true%20-%20_b_true)%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Grouped%20bar%20chart%3A%20true%20vs%20estimated%0A%20%20%20%20_melt%20%3D%20pd.melt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_comp_df%2C%20id_vars%3D%5B%22Parameter%22%5D%2C%20value_vars%3D%5B%22True%22%2C%20%22Estimated%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20var_name%3D%22Source%22%2C%20value_name%3D%22Value%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_comp_chart%20%3D%20alt.Chart(_melt).mark_bar(size%3D20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Source%3AN%22%2C%20title%3D%22%22%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Value%3AQ%22%2C%20title%3D%22Fraction%20of%20half-spread%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%201%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Source%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22True%22%2C%20%22Estimated%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%235C6BC0%22%2C%20%22%23E57373%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20column%3Dalt.Column(%22Parameter%3AN%22%2C%20title%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sort%3D%5B%22alpha%20(adverse%20selection)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22beta%20(inventory)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%221-alpha-beta%20(order%20processing)%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Parameter%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Source%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22Value%3AQ%22%2C%20format%3D%22.4f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D180%2C%20height%3D250%2C%20title%3D%22True%20vs%20Estimated%20Parameters%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20centered_fig(_comp_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Regression%20results**%20(N%20%3D%20%7B_n%7D%20trades)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Coefficient%20%7C%20Value%20%7C%20Interpretation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-------------%7C-------%7C----------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24c_1%24%20%7C%20%7B_c1_hat%3A.4f%7D%20%7C%20%24(%5C%5Calpha%20%2B%20%5C%5Cbeta)%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24c_2%24%20%7C%20%7B_c2_hat%3A.4f%7D%20%7C%20%24-%5C%5Cbeta%20%5C%5Ccdot%20s%2F2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24R%5E2%24%20%7C%20%7B_r2%3A.4f%7D%20%7C%20Fraction%20of%20%24%5C%5CDelta%20P%24%20variance%20explained%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Parameter%20recovery%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20True%20%7C%20Estimated%20%7C%20Error%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C------%7C-----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Calpha%24%20(adverse%20selection)%20%7C%20%7B_a_true%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_a_hat%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_a_hat%20-%20_a_true%3A%2B.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Cbeta%24%20(inventory)%20%7C%20%7B_b_true%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_b_hat%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_b_hat%20-%20_b_true%3A%2B.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%241-%5C%5Calpha-%5C%5Cbeta%24%20(order%20processing)%20%7C%20%7B1-_a_true-_b_true%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_op_hat%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_op_hat%20-%20(1-_a_true-_b_true)%3A%2B.4f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Increase%20the%20sample%20size%20to%20watch%20the%20estimates%20converge.%20With%20100%0A%20%20%20%20trades%20the%20estimates%20are%20noisy%3B%20by%20500-1000%20they%20should%20be%20close%20to%20the%0A%20%20%20%20true%20values.%20This%20is%20the%20fundamental%20tradeoff%20in%20microstructure%0A%20%20%20%20empirics%20--%20you%20need%20many%20trades%20to%20pin%20down%20small%20fractions%20of%20a%0A%20%20%20%20spread%20that%20is%20itself%20only%20a%20few%20cents%20wide.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A