Realized & Implied Volatility

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D5.5.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D2.3.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22sympy%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Realized%20%26%20Implied%20Volatility%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Realized%20%26%20Implied%20Volatility%0A%0A%20%20%20%20Volatility%20(%24%5Csigma%24)%20quantifies%20uncertainty%20%E2%80%94%20how%20much%20a%20price%20moves%20over%0A%20%20%20%20a%20given%20period.%20It%20drives%20option%20pricing%20(Black-Scholes)%2C%20risk%20management%0A%20%20%20%20(VaR)%2C%20and%20portfolio%20construction.%20But%20what%20*is*%20%24%5Csigma%24%2C%20and%20how%20do%20you%0A%20%20%20%20compute%20it%20from%20raw%20prices%3F%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20answers%20that%20question%20with%20live%20calculations.%0A%0A%20%20%20%20**Sections%3A**%0A%20%20%20%201.%20Computing%20realized%20volatility%20from%20scratch%0A%20%20%20%202.%20Rolling%20volatility%20and%20volatility%20clustering%0A%20%20%20%203.%20Implied%20volatility%20and%20the%20volatility%20risk%20premium%0A%20%20%20%204.%20Reference%3A%20typical%20volatility%20by%20asset%20class%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Computing%20Realized%20Volatility%0A%0A%20%20%20%20**Realized%20volatility**%20measures%20how%20much%20a%20price%20has%20*actually*%20moved.%0A%20%20%20%20The%20recipe%20is%20simple%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Take%20daily%20prices%20%24P_0%2C%20P_1%2C%20%5Cldots%2C%20P_N%24.%0A%20%20%20%202.%20Compute%20**log-returns**%3A%20%24r_i%20%3D%20%5Cln(P_i%20%2F%20P_%7Bi-1%7D)%24.%0A%20%20%20%203.%20Compute%20their%20**standard%20deviation**.%0A%20%20%20%204.%20**Annualize**%3A%20multiply%20by%20%24%5Csqrt%7B365%7D%24%20(crypto%20trades%20every%20day).%0A%0A%20%20%20%20Below%3A%20a%20simulated%20price%20path.%20The%20daily%20log-returns%20are%20shown%20as%20bars.%0A%20%20%20%20The%20standard%20deviation%20of%20those%20bars%2C%20scaled%20by%20%24%5Csqrt%7B365%7D%24%2C%20is%20the%0A%20%20%20%20annualized%20realized%20vol.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_vol%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20200%2C%20value%3D60%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22True%20volatility%20(%25%2C%20annualized)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_drift%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-50%2C%20100%2C%20value%3D0%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Annual%20drift%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_days%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2030%2C%20365%2C%20value%3D90%2C%20step%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20days%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sim_seed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%2050%2C%20value%3D7%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_vol%2C%20sim_drift%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20sim_days%2C%20sim_drift%2C%20sim_seed%2C%20sim_vol%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sim_days%2C%20sim_seed)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsim_days%2C%20sim_seed%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20sim_days%2C%20sim_drift%2C%20sim_seed%2C%20sim_vol)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(sim_seed.value)%0A%20%20%20%20_vol%20%3D%20sim_vol.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_drift%20%3D%20sim_drift.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20sim_days.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%20GBM%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%201%20%2F%20365%0A%20%20%20%20_daily_drift%20%3D%20(_drift%20-%200.5%20*%20_vol**2)%20*%20_dt%0A%20%20%20%20_daily_std%20%3D%20_vol%20*%20np.sqrt(_dt)%0A%20%20%20%20_log_returns%20%3D%20_rng.normal(_daily_drift%2C%20_daily_std%2C%20_N)%0A%20%20%20%20_log_prices%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_log_returns)%5D)%0A%20%20%20%20_prices%20%3D%20100%20*%20np.exp(_log_prices)%20%20%23%20start%20at%20100%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20realized%20vol%0A%20%20%20%20_realized_daily%20%3D%20np.std(_log_returns%2C%20ddof%3D1)%0A%20%20%20%20_realized_annual%20%3D%20_realized_daily%20*%20np.sqrt(365)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20chart%0A%20%20%20%20_price_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Day%22%3A%20list(range(_N%20%2B%201))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Price%22%3A%20_prices%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_price_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeWidth%3D2%2C%20color%3D%22%232563eb%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%3AQ%22%2C%20title%3D%22Price%20(%24)%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DFalse))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D200%2C%20title%3D%22Simulated%20Price%20Path%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Returns%20bar%20chart%0A%20%20%20%20_ret_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Day%22%3A%20list(range(1%2C%20_N%20%2B%201))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Log-return%22%3A%20_log_returns%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Color%22%3A%20%5B%22Positive%22%20if%20r%20%3E%3D%200%20else%20%22Negative%22%20for%20r%20in%20_log_returns%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_ret_chart%20%3D%20alt.Chart(_ret_df).mark_bar(opacity%3D0.7).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Log-return%3AQ%22%2C%20title%3D%22Daily%20log-return%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Color%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Positive%22%2C%20%22Negative%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%23059669%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20legend%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D150%2C%20title%3D%22Daily%20Log-Returns%22)%0A%0A%20%20%20%20_combined%20%3D%20alt.vconcat(_price_chart%2C%20_ret_chart).resolve_scale(x%3D%22shared%22)%0A%20%20%20%20_combined%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20sim_days%2C%20sim_drift%2C%20sim_seed%2C%20sim_vol)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Recompute%20for%20display%20(same%20RNG%20seed)%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(sim_seed.value)%0A%20%20%20%20_vol%20%3D%20sim_vol.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_drift%20%3D%20sim_drift.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20sim_days.value%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%201%20%2F%20365%0A%20%20%20%20_daily_drift%20%3D%20(_drift%20-%200.5%20*%20_vol**2)%20*%20_dt%0A%20%20%20%20_daily_std%20%3D%20_vol%20*%20np.sqrt(_dt)%0A%20%20%20%20_log_returns%20%3D%20_rng.normal(_daily_drift%2C%20_daily_std%2C%20_N)%0A%20%20%20%20_realized_daily%20%3D%20np.std(_log_returns%2C%20ddof%3D1)%0A%20%20%20%20_realized_annual%20%3D%20_realized_daily%20*%20np.sqrt(365)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Results%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20True%20vol%20(what%20we%20simulated)%20%7C%20**%7Bsim_vol.value%7D%25**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Realized%20vol%20(measured%20from%20%7B_N%7D%20days)%20%7C%20**%7B_realized_annual%20*%20100%3A.1f%7D%25**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Estimation%20error%20%7C%20%7Babs(_realized_annual%20*%20100%20-%20sim_vol.value)%3A.1f%7D%25%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20measured%20vol%20won't%20exactly%20match%20the%20true%20vol%20%E2%80%94%20especially%20with%20few%0A%20%20%20%20observations.%20**Try**%20increasing%20the%20number%20of%20days%3A%20the%20estimate%20converges%0A%20%20%20%20toward%20the%20true%20value.%20This%20is%20the%20law%20of%20large%20numbers%20in%20action.%0A%0A%20%20%20%20**Formula%20used%3A**%20%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Csigma%7D%7D_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bannual%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Csigma%7D%7D_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bdaily%7D%7D%7D%7D%20%5C%5Ctimes%20%5C%5Csqrt%7B%7B365%7D%7D%20%3D%20%7B_realized_daily%3A.5f%7D%20%5C%5Ctimes%20%7Bnp.sqrt(365)%3A.2f%7D%20%3D%20%7B_realized_annual%3A.4f%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Rolling%20Volatility%20%26%20Volatility%20Clustering%0A%0A%20%20%20%20In%20practice%2C%20you%20don't%20compute%20one%20number%20for%20the%20whole%20history.%20You%0A%20%20%20%20compute%20vol%20over%20a%20**rolling%20window**%20%E2%80%94%20the%20last%207%2C%2014%2C%20or%2030%20days%20%E2%80%94%20to%0A%20%20%20%20see%20how%20it%20changes%20over%20time.%0A%0A%20%20%20%20One%20of%20the%20most%20robust%20empirical%20facts%20in%20finance%3A%20**volatility%20clusters**.%0A%20%20%20%20High-vol%20days%20tend%20to%20follow%20high-vol%20days.%20Calm%20begets%20calm.%20Below%3A%20a%0A%20%20%20%20longer%20simulation%20(1%20year)%20with%20a%20regime%20change%20halfway%20through%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20volatility%20doubles%20from%20one%20period%20to%20the%20next.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20window_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%2060%2C%20value%3D14%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Rolling%20window%20(days)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20vol_regime1%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20100%2C%20value%3D30%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Vol%20regime%201%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20vol_regime2%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20200%2C%20value%3D100%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Vol%20regime%202%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bwindow_slider%2C%20vol_regime1%2C%20vol_regime2%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20vol_regime1%2C%20vol_regime2%2C%20window_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20vol_regime1%2C%20vol_regime2%2C%20window_slider)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20365%0A%20%20%20%20_half%20%3D%20_N%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%201%20%2F%20365%0A%20%20%20%20_v1%20%3D%20vol_regime1.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_v2%20%3D%20vol_regime2.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20_window%20%3D%20window_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Two-regime%20simulation%0A%20%20%20%20_returns1%20%3D%20_rng.normal(0%2C%20_v1%20*%20np.sqrt(_dt)%2C%20_half)%0A%20%20%20%20_returns2%20%3D%20_rng.normal(0%2C%20_v2%20*%20np.sqrt(_dt)%2C%20_N%20-%20_half)%0A%20%20%20%20_all_returns%20%3D%20np.concatenate(%5B_returns1%2C%20_returns2%5D)%0A%20%20%20%20_prices%20%3D%20100%20*%20np.exp(np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_all_returns)%5D))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Rolling%20vol%0A%20%20%20%20_rolling_vol%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_window%2C%20_N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chunk%20%3D%20_all_returns%5B_i%20-%20_window%20%3A%20_i%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rv%20%3D%20np.std(_chunk%2C%20ddof%3D1)%20*%20np.sqrt(365)%20*%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rolling_vol.append(_rv)%0A%0A%20%20%20%20_vol_days%20%3D%20list(range(_window%2C%20_N))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Price%20chart%0A%20%20%20%20_price_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Day%22%3A%20list(range(_N%20%2B%201))%2C%20%22Price%22%3A%20_prices%7D)%0A%20%20%20%20_price_chart%20%3D%20alt.Chart(_price_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeWidth%3D1.5%2C%20color%3D%22%232563eb%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Price%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DFalse))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D180%2C%20title%3D%22Price%20(regime%20change%20at%20day%20182)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Regime%20boundary%0A%20%20%20%20_regime_line%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5Bfloat(_half)%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23f59e0b%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20strokeWidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Rolling%20vol%20chart%0A%20%20%20%20_vol_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Day%22%3A%20_vol_days%2C%20%22Rolling%20vol%20(%25)%22%3A%20_rolling_vol%7D)%0A%20%20%20%20_vol_chart%20%3D%20alt.Chart(_vol_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20strokeWidth%3D2%2C%20color%3D%22%23dc2626%22%2C%0A%20%20%20%20).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Day%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Rolling%20vol%20(%25)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DTrue))%2C%0A%20%20%20%20).properties(width%3D600%2C%20height%3D180%2C%20title%3Df%22%7B_window%7D-day%20rolling%20realized%20volatility%20(%25)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20True%20vol%20lines%0A%20%20%20%20_true_vol_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Day%22%3A%20%5B0%2C%20float(_half)%2C%20float(_half)%2C%20float(_N)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22True%20vol%20(%25)%22%3A%20%5B_v1%20*%20100%2C%20_v1%20*%20100%2C%20_v2%20*%20100%2C%20_v2%20*%20100%5D%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20_true_lines%20%3D%20alt.Chart(_true_vol_df).mark_line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20strokeDash%3D%5B6%2C%204%5D%2C%20strokeWidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22Day%3AQ%22%2C%20y%3D%22True%20vol%20(%25)%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_regime_line2%20%3D%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5Bfloat(_half)%5D%7D)).mark_rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23f59e0b%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20strokeWidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20).encode(x%3D%22x%3AQ%22)%0A%0A%20%20%20%20_top%20%3D%20(_price_chart%20%2B%20_regime_line)%0A%20%20%20%20_bottom%20%3D%20(_vol_chart%20%2B%20_true_lines%20%2B%20_regime_line2)%0A%20%20%20%20alt.vconcat(_top%2C%20_bottom).resolve_scale(x%3D%22shared%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20to%20notice%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20**Before%20the%20regime%20change**%20(left%20of%20the%20orange%20line)%2C%20rolling%20vol%20hovers%20near%0A%20%20%20%20%20%20the%20true%20vol%20of%20regime%201.%0A%20%20%20%20-%20**After%20the%20regime%20change**%2C%20rolling%20vol%20takes%20time%20to%20catch%20up%20%E2%80%94%20especially%20with%0A%20%20%20%20%20%20a%20long%20window.%20A%2030-day%20window%20includes%2030%20days%20of%20old%20calm%20data%20even%20after%20the%0A%20%20%20%20%20%20shift%20to%20high%20vol.%0A%20%20%20%20-%20**Short%20windows**%20(7%20days)%20react%20faster%20but%20are%20noisier.%20**Long%20windows**%20(60%20days)%0A%20%20%20%20%20%20are%20smoother%20but%20lag%20behind%20regime%20changes.%0A%20%20%20%20-%20This%20lag%20is%20the%20option%20seller's%20problem%3A%20by%20the%20time%20rolling%20vol%20tells%20you%20vol%20has%20spiked%2C%0A%20%20%20%20%20%20you've%20already%20lost%20on%20your%20short%20gamma%20position.%20Hedging%20with%20stale%20vol%20estimates%20means%0A%20%20%20%20%20%20under-hedging%20during%20regime%20changes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Implied%20Volatility%20and%20the%20Volatility%20Risk%20Premium%0A%0A%20%20%20%20**Implied%20volatility**%20(IV)%20is%20the%20%24%5Csigma%24%20extracted%20from%20option%20prices%20via%0A%20%20%20%20Black-Scholes.%20It's%20the%20market's%20*consensus%20forecast*%20of%20future%20realized%20vol%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20but%20with%20a%20twist%3A%20IV%20is%20almost%20always%20**higher**%20than%20what%20actually%20happens.%0A%0A%20%20%20%20The%20gap%20is%20the%20**volatility%20risk%20premium**%20(VRP)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BVRP%7D%20%3D%20%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bimplied%7D%7D%20-%20%5Csigma_%7B%5Ctext%7Brealized%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Why%20does%20this%20premium%20exist%3F%20Option%20sellers%20bear%20the%20risk%20that%20vol%20could%20spike%0A%20%20%20%20unexpectedly%20(regime%20changes%2C%20crashes).%20Buyers%20pay%20extra%20for%20that%20insurance.%0A%20%20%20%20The%20VRP%20is%20the%20compensation%20for%20absorbing%20this%20tail%20risk.%0A%0A%20%20%20%20Below%3A%20set%20the%20%22true%22%20realized%20vol%20and%20see%20where%20IV%20typically%20sits%20relative%20to%20it.%0A%20%20%20%20The%20VRP%20wedge%20is%20the%20option%20seller's%20expected%20profit.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20vrp_realized%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010%2C%20150%2C%20value%3D60%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Realized%20vol%20(%25%2C%20annualized)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20vrp_markup%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205%2C%2050%2C%20value%3D20%2C%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22VRP%20markup%20(%25%20points%20above%20realized)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bvrp_realized%2C%20vrp_markup%5D%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20vrp_markup%2C%20vrp_realized%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20np%2C%20pd%2C%20vrp_markup%2C%20vrp_realized)%3A%0A%20%20%20%20_rv%20%3D%20vrp_realized.value%0A%20%20%20%20_iv%20%3D%20_rv%20%2B%20vrp_markup.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simulate%2052%20weeks%20of%20realized%20vol%20fluctuating%20around%20the%20true%20value%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(17)%0A%20%20%20%20_weeks%20%3D%20np.arange(52)%0A%20%20%20%20_rv_series%20%3D%20_rv%20%2B%20_rng.normal(0%2C%20_rv%20*%200.15%2C%2052)%20%20%23%20%C2%B115%25%20noise%0A%20%20%20%20_rv_series%20%3D%20np.clip(_rv_series%2C%205%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20IV%20tracks%20realized%20but%20stays%20above%20it%20(mean-reverting%20with%20premium)%0A%20%20%20%20_iv_series%20%3D%20_rv_series%20%2B%20vrp_markup.value%20%2B%20_rng.normal(0%2C%203%2C%2052)%0A%20%20%20%20_iv_series%20%3D%20np.clip(_iv_series%2C%20_rv_series%20%2B%202%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Week%22%3A%20np.tile(_weeks%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Volatility%20(%25)%22%3A%20np.concatenate(%5B_rv_series%2C%20_iv_series%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Series%22%3A%20%5B%22Realized%20vol%22%5D%20*%2052%20%2B%20%5B%22Implied%20vol%22%5D%20*%2052%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_lines%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_line(strokeWidth%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Week%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Volatility%20(%25)%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(zero%3DTrue))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Series%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Realized%20vol%22%2C%20%22Implied%20vol%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20the%20VRP%20gap%0A%20%20%20%20_rv_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22Week%22%3A%20_weeks%2C%20%22RV%22%3A%20_rv_series%2C%20%22IV%22%3A%20_iv_series%7D)%0A%20%20%20%20_area%20%3D%20alt.Chart(_rv_df).mark_area(opacity%3D0.15%2C%20color%3D%22%23f59e0b%22).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22Week%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22RV%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y2%3D%22IV%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20(_area%20%2B%20_lines).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%20height%3D280%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Implied%20vs%20Realized%20Volatility%20(VRP%20%E2%89%88%20%7Bvrp_markup.value%7Dpp)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20vrp_markup%2C%20vrp_realized)%3A%0A%20%20%20%20_rv%20%3D%20vrp_realized.value%0A%20%20%20%20_iv%20%3D%20_rv%20%2B%20vrp_markup.value%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Current%20settings%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Realized%20vol%20%7C%20%7B_rv%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Implied%20vol%20%7C%20%7B_iv%7D%25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**VRP**%20%7C%20**%7Bvrp_markup.value%7Dpp**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20orange-shaded%20zone%20is%20the%20VRP%20%E2%80%94%20the%20option%20seller's%20expected%20edge.%20In%0A%20%20%20%20practice%2C%20the%20VRP%20for%20equity%20indices%20(S%26P%20500)%20averages%203%E2%80%935%20percentage%20points.%0A%20%20%20%20For%20individual%20stocks%20it's%20higher.%20For%20crypto%20it%20can%20be%2010%E2%80%9330pp.%0A%0A%20%20%20%20**Key%20insight%3A**%20anyone%20who%20is%20structurally%20short%20volatility%20%E2%80%94%20option%20sellers%2C%0A%20%20%20%20variance%20swap%20sellers%2C%20or%20anyone%20whose%20P%26L%20is%20%24-%5C%5Csigma%5E2%24%20%E2%80%94%20captures%20the%20VRP%0A%20%20%20%20as%20compensation%20for%20bearing%20crash%20risk.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_assets%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22US%20T-Bills%20(3m)%22%2C%200.5%2C%20%22Fixed%20Income%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22S%26P%20500%22%2C%2017%2C%20%22Equity%20Index%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Single%20stocks%20(median)%22%2C%2035%2C%20%22Equities%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Gold%22%2C%2015%2C%20%22Commodities%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Crude%20Oil%22%2C%2035%2C%20%22Commodities%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22EUR%2FUSD%22%2C%208%2C%20%22FX%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22BTC%22%2C%2055%2C%20%22Crypto%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22ETH%22%2C%2075%2C%20%22Crypto%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22SOL%22%2C%2095%2C%20%22Crypto%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Memecoin%20(typical)%22%2C%20300%2C%20%22Crypto%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%7B%22Asset%22%3A%20a%2C%20%22Typical%20Vol%20(%25)%22%3A%20v%2C%20%22Class%22%3A%20c%7D%20for%20a%2C%20v%2C%20c%20in%20_assets%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20alt.Chart(_df).mark_bar(opacity%3D0.8).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22Typical%20Vol%20(%25)%3AQ%22%2C%20title%3D%22Annualized%20Volatility%20(%25)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22Asset%3AN%22%2C%20sort%3D%5Ba%20for%20a%2C%20_%2C%20_%20in%20_assets%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22Class%3AN%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22Fixed%20Income%22%2C%20%22Equity%20Index%22%2C%20%22Equities%22%2C%20%22Commodities%22%2C%20%22FX%22%2C%20%22Crypto%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22%2394a3b8%22%2C%20%22%232563eb%22%2C%20%22%2360a5fa%22%2C%20%22%23f59e0b%22%2C%20%22%23059669%22%2C%20%22%23dc2626%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22Asset%3AN%22%2C%20%22Typical%20Vol%20(%25)%3AQ%22%2C%20%22Class%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D550%2C%20height%3D350%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Typical%20Annualized%20Volatility%20by%20Asset%20Class%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_chart%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Volatility%20Reference%0A%0A%20%20%20%20The%20chart%20above%20shows%20rough%20annualized%20vol%20levels%20for%20orientation.%20These%0A%20%20%20%20are%20not%20fixed%20%E2%80%94%20they%20shift%20with%20market%20regimes.%20During%20crises%20(2008%2C%202020)%2C%0A%20%20%20%20equity%20vol%20can%20spike%20above%2080%25.%20During%20bull%20markets%2C%20it%20can%20drop%20below%2010%25.%0A%0A%20%20%20%20**Rules%20of%20thumb%3A**%0A%20%20%20%20-%20**%3C%2015%25**%20%E2%80%94%20low%20vol%20(government%20bonds%2C%20stablecoins%2C%20major%20FX%20pairs)%0A%20%20%20%20-%20**15%E2%80%9340%25**%20%E2%80%94%20moderate%20(equity%20indices%2C%20gold%2C%20blue-chip%20stocks)%0A%20%20%20%20-%20**40%E2%80%93100%25**%20%E2%80%94%20high%20(single%20stocks%2C%20BTC%2C%20ETH)%0A%20%20%20%20-%20**%3E%20100%25**%20%E2%80%94%20extreme%20(memecoins%2C%20small-cap%20tokens%2C%20distressed%20names)%0A%0A%20%20%20%20**Next%20steps%3A**%0A%20%20%20%20-%20%5B%5Boptions-basics%5D%5D%20and%20%5B%5Bthe-greeks%5D%5D%20%E2%80%94%20how%20volatility%20enters%20option%0A%20%20%20%20%20%20pricing%20through%20the%20Greeks%20(%24%5CDelta%24%2C%20%24%5CGamma%24%2C%20vega)%0A%20%20%20%20-%20%5B%5Bvolatility%5D%5D%20note%20%E2%80%94%20the%20full%20conceptual%20treatment%20with%20historical%0A%20%20%20%20%20%20context%20and%20formal%20definitions%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A